Узлы Чебышёва

Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике под узлами Чебышёва понимают корни многочлена Чебышёва первого рода. Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге.

Определение

Для натурального числа n узлы Чебышёва на отрезке [−1, 1] задаются формулой

x_{k}=\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.

Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени n. Для получения узлов на произвольном отрезке [a, b] можно применить аффинное преобразование отрезков:

x_{k}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Пи (число)</span> математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра

$\text{[math]}$ — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Числу «пи» также можно дать множество других определений, например это отношение полупериода функции $\text{[math]}$ к её максимальному значению. Обозначается буквой греческого алфавита «π». На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой.

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности ортогональных многочленов $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва:

Многочлен Чебышёва первого рода $\text{[math]}$ характеризуется как многочлен степени $\text{[math]}$ со старшим коэффициентом $\text{[math]}$ , который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке $\text{[math]}$ . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла. Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе. Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.

Ниже приведён список интегралов от экспоненциальной функции. В списке везде опущена константа интегрирования.

<span class="mw-page-title-main">Гиперсфера</span> гиперповерхность в n-мерном евклидовом пространстве

Гиперсфе́ра — гиперповерхность в $\text{[math]}$ -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

при $\text{[math]}$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
при $\text{[math]}$ она представляет собой окружность;
при $\text{[math]}$ гиперсфера является сферой.
при $\text{[math]}$ гиперсфера является 3-сферой.
при $\text{[math]}$ гиперсфера является 4-сферой.

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Рекуррентная формула — формула вида $\text{[math]}$ , выражающая каждый член последовательности $\text{[math]}$ через $\text{[math]}$ предыдущих членов и номер члена последовательности $\text{[math]}$ .

Фильтр Баттерво́рта — один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.

Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания и подавления, чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Куби́ческий ко́рень из a, обозначающийся как $\text{[math]}$ или как a^1/3 — это число $\text{[math]}$ куб которого равен $\text{[math]}$ Другими словами, это решение уравнения $\text{[math]}$ .

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке $\text{[math]}$ в пространстве $\text{[math]}$ . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $\text{[math]}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

<span class="mw-page-title-main">Корни из единицы</span> комплексное число, натуральная степень которого равна единице

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ . Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена $\text{[math]}$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика $\text{[math]}$ которого не является делителем степени $\text{[math]}$ многочлена.

Корень $\text{[math]}$ -й степени из числа $\text{[math]}$ определяется как такое число $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ Здесь $\text{[math]}$ — натуральное число, называемое показателем корня ; как правило, оно больше или равно 2, потому что случай $\text{[math]}$ не представляет интереса.

В 1760-х Иоганн Генрих Ламберт доказал, что число π иррационально, то есть не может быть представлено дробью a/b, где a — целое число, а b — ненулевое целое число. В XIX веке Чарльз Эрмит нашел еще одно доказательство, пользуясь только базовыми средствами математического анализа. В дальнейшем Мэри Картрайт, Айвен Нивен и Никола Бурбаки смогли упростить доказательство Эрмита, а Миклош Лацкович упростил доказательство Ламберта.

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.