Укорачивающий поток

Укорачивающий поток — процесс, изменяющий гладкую кривую на плоскости путём перемещения её точек перпендикулярно к кривой со скоростью, равной её кривизне.

Укорачивающий поток изучается в основном как простейший пример геометрического потока^[англ.], в частности позволяет отработать технику для работы с потоком Риччи и с потоком средней кривизны.

Уравнение

Однопараметрическое семейство кривых $\gamma _{t}$ является решением укорачивающего потока, если для любого значения параметра $\tau$ имеем

{\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t}}=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),

где $\kappa _{t}(\tau )$ — кривизна со знаком кривой $\gamma _{t}$ в точке $\gamma _{t}(\tau )$ и $n_{t}(\tau )$ — единичный вектор нормали к кривой $\gamma _{t}$ в точке $\gamma _{t}(\tau )$ .

Свойства

Если начальная кривая простая и замкнутая, то она остаётся таковой под действием укорачивающего потока.
Для простой замкнутой кривой $\gamma _{0}$ $\gamma _{0}$ укорачивающий поток $\gamma _{t}$ $\gamma _{t}$ определён на максимальном интервале $t\in [0,T)$ $t\in [0,T)$ .
- При $t\to T$ кривая $\gamma _{t}$ схлопывается в точку.
Площадь ограниченная кривой уменьшается с постоянной скоростью.
${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$
- В частности, момент схлопывания в точку полностью определён площадью, ограниченной кривой: $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}$ .
Если изначальная кривая не является выпуклой, то её максимальное абсолютное значение кривизны уменьшается монотонно, пока она не станет выпуклой.
Для выпуклой кривой изопериметрическое соотношение убывает, и прежде чем пропасть в точке сингулярности, кривая стремится по форме к окружности.^[1]
Две непересекающиеся простые гладкие замкнутые кривые остаются непересекающимися, пока одна из них не схлопнулась в точку.
Окружность — единственная простая замкнутая кривая, которая сохраняет свою форму в потоке.
- Некоторые кривые с самопересечениями, а также кривые бесконечной длины, сохраняют форму.

Приложения

Укорачивающий поток на сфере даёт одно из доказательств задачи Арнольда о существования хотя бы четырёх точек перегиба у любой гладкой кривой, разрезающей сферу на равновеликие диски.^[2]

Примечания

↑ Gage, M. E. (1984), «Curve shortening makes convex curves circular», Inventiones Mathematicae 76 (2): 357—364, doi:10.1007/BF01388602
↑ Angenent, Sigurd. «Inflection points, extatic points and curve shortening.» Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom. Springer Netherlands, 1999. 3-10.

Похожие исследовательские статьи

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик, описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от соответствующих «плоских» объектов.

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Теоре́ма Мёнье́ — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

<span class="mw-page-title-main">Трёхгранник Френе</span>

Базис, репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

\text{[math]}

Гиперповерхность является обобщением понятия поверхности 3-мерного пространства для n-мерного пространства; это многообразие размерности n, которое вложено в евклидово пространство на единицу большей размерности $\text{[math]}$ .

Разрывный метод Галёркина — метод решения операторных уравнений, в основном дифференциальных уравнений. Является развитием классического метода конечных элементов (МКЭ), основанного на вариационной постановке Галёркина.

Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической $\text{[math]}$ в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.

<span class="mw-page-title-main">Лемма о руке</span>

Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.

Формула Эйлера — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.

Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.

Замкнутая геодезическая на римановом многообразии — это геодезическая, которая образует простую замкнутую кривую. Её можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Теорема Решетняка о мажоризации — удобная характеризация CAT(k) пространств.

Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.

Основная теорема дифференциальной геометрии кривых описывает гладкие кривые в трёхмерном евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.