Ультраметрическое пространство

Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:

${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\}}$

Такую метрику называют ультраметрикой. Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие, то есть не соблюдается «принцип Архимеда».

Ультраметрическое пространство — это пара ${\displaystyle (M,d)}$, где ${\displaystyle M}$ — множество, а ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ — вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой, удовлетворяющая следующим условиям:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0,d(x,y)=0\iff x=y}$ (положительная определённость)
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (симметричность)
3. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\}}$ (сильное неравенство треугольника)

Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.

• Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
• Всякая точка шара является его центром.
• Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
• Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной.

• Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0, если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
• Метрика на ${\displaystyle 1,2,\dots ,n,\dots }$ такая, что ${\displaystyle d(n,m)=d_{n}}$ при ${\displaystyle n<m}$, и ${\displaystyle d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant ...d_{n}\geqslant ...\geqslant 0}$.
• Множество слов произвольной длины некоторого алфавита ${\displaystyle \Sigma }$ с ультраметрикой, заданной как ${\displaystyle d(a,b)=2^{-n}}$, где ${\displaystyle n}$ — номер первого символа, различного в словах ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.
• p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
• Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации при исследовании последовательностей символов и в физике твёрдого тела при изучении спиновых стёкол.

• Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин. 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.