Ультрафильтр

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Тёмно-зелёным отмечен фильтр, не являющийся ультрафильтром. При добавлении к нему светло-зелёных элементов образуется ультрафильтр.

Ультрафильтр на решётке  — это максимальный собственный фильтр[1]. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение

Собственный фильтр на решётке является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от ) фильтре.

Набор подмножеств множества называется ультрафильтром на , если

  • для любых двух элементов , их пересечение также лежит в
  • для любого элемента , все его надмножества лежат в
  • для любого подмножества либо , либо

Замечания

  • является ультрафильтром если функция на множествах , заданная как , если , и в противном случае, то является конечно-аддитивной вероятностной мерой на .

Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента либо , либо

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

  • Минимальный фильтр, содержащий данный элемент , называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом .
    • Любой главный фильтр является ультрафильтром
    • Основные приложения имеют неглавные ультрафильтры.
  • подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории , состоящее из теорем

Свойства

  • ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
  • любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
  • если — главный ультрафильтр на множестве , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
  • если — неглавный ультрафильтр на множестве , то пересечение всех его элементов пусто.
  • Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
    • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
    • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
    • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
  • Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров можно взять множества для всевозможных

Приложения

Примечания

  1. Постников М. М. Лекции по геометрии: Гладкие многообразия. — 2. — URSS, 2017. — С. 166—170. — 480 с. — ISBN 978-5-9710-3916-7.
  2. Isaac Goldbring. Ultrafilter methods in combinatorics (англ.) // Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach. — 2021. — No. 6. Архивировано 24 января 2022 года.