Универсальное пространство

Универсальное пространство (относительно некоторого класса топологических пространств ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$) — топологическое пространство ${\displaystyle X}$ , такое, что ${\displaystyle X}$ принадлежит классу ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ и каждое пространство ${\displaystyle Y}$ из класса ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ вкладывается в ${\displaystyle X}$, то есть ${\displaystyle Y}$гомеоморфно подпространству пространства ${\displaystyle X}$. С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространства^[1]. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображении^[1][2].

Примеры универсальных пространств (далее ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — кардинал, такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$, то есть ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ бесконечный):

• Александровский куб ${\displaystyle F^{\mathfrak {m}}}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-я степень связного двоеточия ${\displaystyle F}$ (то есть пространства ${\displaystyle \{0;1\}}$ с топологией, состоящей из пустого множества, всего пространства и множества ${\displaystyle \{0\}}$) — универсален для всех T₀-пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$^[3].
• Тихоновский куб ${\displaystyle I^{\mathfrak {m}}}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-я степень единичного отрезка ${\displaystyle I=[0;1]}$ — универсален для всех тихоновских пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$ и для всех компактных хаусдорфовых пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$^[4].
• Гильбертов кирпич ${\displaystyle I^{\aleph _{0}}}$ — счётная степень единичного отрезка — универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств^[5].
• ${\displaystyle J({\mathfrak {m}})^{\aleph _{0}}}$ — счётная степень ежа колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — универсально для всех метризуемых пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$^[6].
• Пространство рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (с естественной топологией) универсально для всех счётных метризуемых пространств^[7].
• Канторов куб ${\displaystyle D^{\mathfrak {m}}}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-я степень двухточечного дискретного пространства — универсален для всех нульмерных пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$^[8].
• Пространство Бэра ${\displaystyle B({\mathfrak {m}})=D({\mathfrak {m}})^{\aleph _{0}}}$ — счётная степень дискретного пространства мощности ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — универсально для всех нульмерных в смысле Ind метризуемых пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$^[9].
• Подпространство евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$, образованное всеми точками, не более чем ${\displaystyle n}$ координат которых рациональны, универсально для всех метризуемых сепарабельных пространств размерности не больше ${\displaystyle n}$^[10].
• Существует компакт, универсальный для всех тихоновских пространств ${\displaystyle X}$ веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$, таких, что ${\displaystyle \dim X\leqslant n}$ (то есть размерность Лебега ${\displaystyle X}$ не больше ${\displaystyle n}$)^[11].

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.