Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.
Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.
Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.
Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Копроизведение семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во многих категориях произведение и копроизведение объектов разительно отличаются.
Расслоённое произведение — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: 
. Расслоённое произведение часто обозначают как 
.
Унивалентный функтор — функтор, который инъективен на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. Полный функтор — двойственное понятие — функтор, который сюръективен на каждом множестве морфизмов с фиксированным образом и прообразом.
Коуравнитель — теоретико-категорное обобщение понятия фактора по отношению эквивалентности. Это понятие двойственно к понятию уравнителя, отсюда и название.
Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.
Топология Гротендика — структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом или сайтом.
Окольцованное пространство — топологическое пространство, каждому открытому множеству которого сопоставлено коммутативное кольцо «функций» на этом множестве. Окольцованные пространства, в частности, используются при определении схем.
В математике, пучок модулей — это пучок над окольцованным пространством 
, обладающий структурой модуля над структурным пучком 
.
Когерентные пучки — класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами пространства-носителя. В определении когерентного пучка используется пучок колец, который хранит эту геометрическую информацию.
