Унимодулярная матрица

Унимодуля́рная ма́трица — квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен ${\displaystyle +1}$ или ${\displaystyle -1}$. Это в точности те невырожденные матрицы ${\displaystyle A}$, для которых уравнение ${\displaystyle Ax=b}$ имеет целочисленное решение для любого целочисленного вектора ${\displaystyle b}$.

Унимодулярные матрицы образуют группу по умножению, т.е. следующие матрицы являются унимодулярными:

• Единичная матрица
• Обратная к унимодулярной матрице
• Произведение двух унимодулярных матриц

Прямоугольная матрица называется вполне унимодулярной (или абсолютно, или тотально унимодулярной), если все её миноры принимают значения из множества ${\displaystyle \{-1,0,+1\}}$. Иными словами, любая её невырожденная квадратная подматрица унимодулярна.

Вполне унимодулярные матрицы играют важную роль в теории целочисленного линейного программирования: задачи линейного программирования с системой ограничений вида ${\displaystyle Ax=b}$, где ${\displaystyle A}$ вполне унимодулярна, а ${\displaystyle b}$ — целочисленный вектор, имеют целочисленные базисные допустимые решения, а значит, в частности, могут быть решены стандартным средством линейного программирования — симплекс-методом.

Некоторые примеры вполне унимодулярных матриц:

• матрица инцидентности любого ориентированного графа;
• матрица инцидентности двудольного неориентированного графа;
• частный пример:

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&-1&0&0&0&+1\\+1&0&-1&-1&0&0\\0&+1&+1&0&-1&0\\0&0&0&+1&+1&-1\\\end{bmatrix}}.}$

Теорема1: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда все её инвариантные множители равны единице, т.е. когда она эквивалентна единичной матрице.

Теорема 2: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда она есть произведение матричных элементов.

• Берж К.. Теория графов и её применения. Глава 15. М., ИЛ, 1962.
• Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. 1984.
• Емеличев В.А. Многогранники. Графы. Оптимизация. Глава IV. г. 1981.