Упаковка тетраэдров

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Упаковка тетраэдров — это задача расположения одинаковых правильных тетраэдров в трёхмерном пространстве так, чтобы заполнить как можно большую долю пространства.

Известная на настоящее время самая плотная упаковка правильными тетраэдрами — это двойная решётка[англ.] треугольных бипирамид, заполняющая 85,63 % пространства

На настоящее время лучшей границей плотности упаковки, полученной для оптимальной упаковки правильных тетраэдров, является число 85,63 %[1]. Тетраэдры не замощают пространство[2] и, как известно, верхняя граница заполнения находится ниже 100 % (а именно, 1 − (2,6…)·10−25) [3].

Исторические результаты

Тетраэдральная упаковка продуктов

Аристотель утверждал, что тетраэдры должны заполнять пространство полностью[4].

В 2006 году Конвей и Торквато показали, что плотность упаковки около 72 % может быть получена построением решётки тетраэдров, не являющейся решёткой Браве (с несколькими частями, имеющими различную ориентацию), и показали, что лучшая упаковка тетраэдров не может быть решёточной упаковкой (с одним элементом на повторяющийся блок и когда каждый элемент имеет одну и ту же ориентацию)[5]. Эти построения почти удваивают оптимальную плотность упаковки на основе решётки Браве, которую получил Хойлман и плотность которой равна 36,73 %[6]. В 2007 и 2010 годах Чайкин с коллегами показали, что похожие на тетраэдр тела могут быть случайным образом упакованы в конечный контейнер с плотностью упаковки между 75 % и 76 %[7]. В 2008 году Чен первой предложила упаковку правильных тетраэдров, которая плотнее упаковки сфер, а именно, 77,86 %[8][9]. Улучшения сделали Торквато и Цзяо в 2009 году, сжав конструкцию Чен с помощью компьютерного алгоритма и получив долю упаковки 78,2021 %[10].

В середине 2009 года Хаджи-Акбари с соавторами показали, используя метод Монте-Карло для первоначально случайной системы с плотностью упаковки >50 %, что равновесный поток твёрдых тетраэдров спонтанно преобразуется в двенадцатиугольный квазикристалл, который может быть сжат до 83,24 %. Они также описали хаотическую упаковку с плотностью, превосходящей 78 %. Для периодической аппроксимации квазикристаллами с ячейкой из 82 тетраэдров они получили плотность упаковки 85,03 %[11].

В конце 2009 года новое, более простое семейство упаковок с плотностью 85,47 % открыли Каллус, Элзер и Гравел[12]. На основе этих упаковок, слегка их улучшив, Торквато и Цзяо в конце 2009 года получили и плотность 85,55 %[13]. В начале 2010 года Чен, Энгел и Глотцер получили плотность 85,63 %[1], и сейчас этот результат является самой плотной упаковкой правильных тетраэдров.

Связь с другими задачами упаковки

Поскольку ранние известные границы плотности упаковки тетраэдров были меньше упаковки шаров, было высказано предположение, что правильный тетраэдр может быть контрпримером гипотезе Улама[англ.], что оптимальная плотность упаковки одинаковых шаров меньше плотности упаковки любого другого тела. Более поздние исследования показали, что это не так.

См. также

  • Задачи упаковки
  • Тетрагональные дисфеноидные соты[англ.] — изоэдральная упаковка неправильных тетраэдров в 3-мерном пространстве.
  • Трижды усечённые триакистетраэдральные соты[англ.] — транзитивная по ячейкам[англ.] упаковка, основывающаяся на правильных тетраэдрах.

Примечания

  1. ↑ 1 2 Chen, Engel, Glotzer, 2010, с. 253–280.
  2. ↑ Struik, 1925, с. 121–134.
  3. ↑ Gravel, Elser, Kallus, 2010, с. 799–818.
  4. ↑ Polster, Ross, 2011.
  5. ↑ Conway, 2006, с. 10612–10617.
  6. ↑ Hoylman, 1970, с. 135–138.
  7. ↑ Jaoshvili, Esakia, Porrati, Chaikin, 2010, с. 185501.
  8. ↑ Chen, 2008, с. 214–240.
  9. ↑ Cohn, 2009, с. 801–802.
  10. ↑ Torquato, Jiao, 2009, с. 876–879.
  11. ↑ Haji-Akbari, Engel, Keys, Zheng и др., 2009, с. 773–777.
  12. ↑ Kallus, Elser, Gravel, 2010, с. 245–252.
  13. ↑ Torquato, Jiao, 2009.

Литература

  • Elizabeth R. Chen, Michael Engel, Sharon C. Glotzer. Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 44, вып. 2. — С. 253–280. — doi:10.1007/s00454-010-9273-0.
  • D. J. Struik. De impletione loci // Nieuw Arch. Wiskd.. — 1925. — Т. 15. — С. 121–134.
  • Simon Gravel, Veit Elser, Yoav Kallus. Upper bound on the packing density of regular tetrahedra and octahedral // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 46. — С. 799–818. — doi:10.1007/s00454-010-9304-x. — arXiv:1008.2830.
  • J. H. Conway. Packing, tiling, and covering with tetrahedral // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2006. — Т. 103, вып. 28. — С. 10612–10617. — doi:10.1073/pnas.0601389103. — Bibcode: 2006PNAS..10310612C. — PMID 16818891. — PMC 1502280.
  • Douglas J. Hoylman. The densest lattice packing of tetrahedral // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1970. — Т. 76. — С. 135–138. — doi:10.1090/S0002-9904-1970-12400-4.
  • Alexander Jaoshvili, Andria Esakia, Massimo Porrati, Paul M. Chaikin. Experiments on the Random Packing of Tetrahedral Dice // Physical Review Letters. — 2010. — Т. 104, вып. 18. — С. 185501. — doi:10.1103/PhysRevLett.104.185501. — Bibcode: 2010PhRvL.104r5501J. — PMID 20482187.
  • Elizabeth R. Chen. A Dense Packing of Regular Tetrahedra // Discrete & Computational Geometry. — 2008. — Т. 40, вып. 2. — С. 214–240. — doi:10.1007/s00454-008-9101-y.
  • Henry Cohn. Mathematical physics: A tight squeeze // Nature. — 2009. — Т. 460, вып. 7257. — С. 801–802. — doi:10.1038/460801a. — Bibcode: 2009Natur.460..801C. — PMID 19675632.
  • S. Torquato, Y. Jiao. Dense packings of the Platonic and Archimedean solids // Nature. — 2009. — Т. 460, вып. 7257. — С. 876–879. — doi:10.1038/nature08239. — Bibcode: 2009Natur.460..876T. — arXiv:0908.4107. — PMID 19675649.
  • Amir Haji-Akbari, Michael Engel, Aaron S. Keys, Xiaoyu Zheng, Rolfe G. Petschek, Peter Palffy-Muhoray, Sharon C. Glotzer. Disordered, quasicrystalline and crystalline phases of densely packed tetrahedral // Nature. — 2009. — Т. 462, вып. 7274. — С. 773–777. — doi:10.1038/nature08641. — Bibcode: 2009Natur.462..773H. — arXiv:1012.5138. — PMID 20010683.
  • Yoav Kallus, Veit Elser, Simon Gravel. Dense Periodic Packings of Tetrahedra with Small Repeating Units // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 44. — P. 245–252. — doi:10.1007/s00454-010-9254-3.
  • Torquato, S.; Jiao, Y. (2009). "Analytical Constructions of a Family of Dense Tetrahedron Packings and the Role of Symmetry". arXiv:0912.4210 [cond-mat.stat-mech].
  • Burkard Polster and Marty Ross (2011-03-14). "Do women have fewer teeth than men?". The Age.

Ссылки