Упорядоченная группа

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Теория упорядоченных групп объединяет методы теории групп и теории порядка, является разделом абстрактной алгебры и проникает в теорию одномерных динамических систем.

Далее в этом разделе группа считается аддитивной, то есть групповая операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом ${\displaystyle 0}$.

Пусть ${\displaystyle G}$ — коммутативная группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: ${\displaystyle x\leqslant x}$.
2. Транзитивность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$, то ${\displaystyle x\leqslant z}$.
3. Антисимметричность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$, то ${\displaystyle x=y}$.
4. Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых ${\displaystyle x,y}$ либо ${\displaystyle x\leqslant y}$, либо ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

5. Если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то для любого z справедливы соотношения:

${\displaystyle x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.}$

Если все пять аксиом выполнены, то группа ${\displaystyle G}$ называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа^[1].

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: ${\displaystyle x\geqslant y}$ означает, что ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Отношение больше: ${\displaystyle x>y}$ означает, что ${\displaystyle x\geqslant y}$ и ${\displaystyle x\neq y}$.

Отношение меньше: ${\displaystyle x<y}$ означает, что ${\displaystyle y>x}$.

Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством.

Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок.

Подгруппа ${\displaystyle H}$ упорядоченной группы ${\displaystyle G}$ называется выпуклой, если все элементы ${\displaystyle g\in G}$, находящиеся между элементами ${\displaystyle H,}$ принадлежат ${\displaystyle H.}$ Формальная запись: если ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ и ${\displaystyle h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},}$ то ${\displaystyle g\in H.}$ Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.

Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать^[2], например:

Если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d,}$ то ${\displaystyle a+c<b+d}$

Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена^[3]. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.

Порядок в группе называется архимедовым, если для любых ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle b>0}$ найдётся такое натуральное ${\displaystyle n,}$ что:

${\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b}$

Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна^[4].

Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент^[4].

Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел^[4].

Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп^[1].

Элементы, бо́льшие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если ${\displaystyle x\geqslant 0,}$ то, прибавив ${\displaystyle -x,}$ получим, что ${\displaystyle -x\leqslant 0.}$ Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль.

Обозначим ${\displaystyle P}$ множество неотрицательных элементов. Тогда ${\displaystyle -P,}$ то есть множество элементов, противоположных элементам ${\displaystyle P,}$ содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств^[5][1].

(P1) ${\displaystyle P}$ замкнуто относительно сложения.

(P2) ${\displaystyle -P}$ имеет с ${\displaystyle P}$ ровно один общий элемент — ноль группы: ${\displaystyle P\cap (-P)=\{0\}.}$

(P3) ${\displaystyle (-g)+P+g\subset P}$ для любого ${\displaystyle g\in G.}$

(P4) ${\displaystyle P\cup (-P)=G.}$

Один из способов определить в произвольной группе ${\displaystyle G}$ линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

Пусть такое ${\displaystyle P}$ выделено. Определим линейный порядок в ${\displaystyle G}$ следующим образом^[5]:

${\displaystyle x\leqslant y}$, если ${\displaystyle y-x\in P}$ (отметим, что из свойства (P3) следует, что если ${\displaystyle y-x\in P,}$ то и ${\displaystyle -x+y\in P,}$ даже если группа не коммутативна).

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры^[5].

Определим абсолютную величину элементов группы: ${\displaystyle |x|=max(x,-x).}$ Здесь функция ${\displaystyle max}$ осуществляет выбор наибольшего значения.

Свойства абсолютной величины^[6]:

• ${\displaystyle |x|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0.}$
• Для всех ненулевых ${\displaystyle x}$ и только для них ${\displaystyle |x|>0.}$
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |x|=|-x|.}$
• Неравенство треугольника: ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|.}$
• ${\displaystyle |x|\leqslant y}$ равносильно ${\displaystyle -y\leqslant x\leqslant y.}$

• Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
• Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
• Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.}$ Определим в ней множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу^[7].
• Определим в аддитивной группе ${\displaystyle G}$ всех комплексных чисел множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов следующим образом: ${\displaystyle a+bi\in P,}$ если либо ${\displaystyle a>0,}$ либо ${\displaystyle a=0;b\geqslant 0.}$ Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает ${\displaystyle G}$ в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком^[8]. В ней, например, ${\displaystyle 0<i<1,}$ причём сумма любого количества ${\displaystyle i}$ всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на ${\displaystyle i}$ неравенство ${\displaystyle i>0,}$ мы получим ошибочное неравенство ${\displaystyle -1>0}$. Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.

Для некоммутативной группы определение порядка следующее.

Частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ на группе ${\displaystyle (G,\ast )}$ называется

• правоинвариантным, если для любых ${\displaystyle x,y,z\in G}$ из ${\displaystyle x\leqslant y}$ следует ${\displaystyle x\ast z\leqslant y\ast z}$,
• левоинвариантным, если для любых ${\displaystyle x,y,z\in G}$ из ${\displaystyle x\leqslant y}$ следует ${\displaystyle z\ast x\leqslant z\ast y}$,
• двусторонне инвариантным, если он является и правоинвариантным, и левоинвариантным.

Группа называется правоупорядочиваемой или левоупорядочиваемой, если на ней можно ввести, соответственно, правоинвариантный или левоинвариантный линейный порядок. А если на группе можно ввести двусторонне инвариантный линейный порядок, то её называют двусторонне упорядочиваемой, линейно упорядочиваемой или просто упорядочиваемой^[9]. В случае абелевых групп данные понятия совпадают.

Группа правоупорядочиваема тогда и только тогда, когда она левоупорядочиваема. А именно, порядок ${\displaystyle \leqslant }$ является правоинвариантным тогда и только тогда, когда порядок ${\displaystyle \leqslant ^{\prime }}$, заданный по правилу ${\displaystyle x\leqslant ^{\prime }y\Longleftrightarrow y^{-1}\leqslant x^{-1}}$, является левоинвариантным. Таким образом, для установления общих свойств упорядоченных групп достаточно рассматривать только правоинвариантные порядки. При этом существуют группы, являющиеся правоупорядочиваемыми, но не двусторонне упорядочиваемыми. Например, группы кос.

Также в литературе рассматривают различные ослабления вышеуказанных свойств. Например, ослабление требования линейности порядка приводит к понятию частично упорядоченной группы.

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — 300 с..
• Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972. — 343 с.
• Копытов В. М., Медведев Н. Я.. Правоупорядоченные группы (рус.). — Новосибирск: Научная книга, 1996. — 256 с. — ISBN 588119005X.
• Линейно упорядоченная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 322.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 343 с.