Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана

Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана — дифференциальное уравнение в частных производных, играющее центральную роль в теории оптимального управления. Решением уравнения является функция значения (англ. value function), которая даёт оптимальное значение для управляемой динамической системы с заданной функцией цены.

Если уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана решаются в какой-то части пространства, они играют роль необходимого условия; при решении во всём пространстве они также становятся достаточным условием для оптимального решения. Методика может быть также применена к стохастическим системам.

Классические вариационные задачи (например, задача о брахистохроне) могут быть решены с использованием этого метода.

Уравнение является результатом развития теории динамического программирования, первопроходцем которой является Ричард Беллман и его сотрудники.^[1]

Соответствующее уравнение с дискретным временем называется просто уравнением Беллмана. При рассмотрении задачи с непрерывным временем полученные уравнения могут рассматриваться как продолжение более ранних работ в области теоретической физики, связанных с уравнением Гамильтона — Якоби.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления на промежутке времени ${\displaystyle [0,T]}$:

${\displaystyle V=\min _{u}\left\{\int \limits _{0}^{T}C[x(t),u(t)]\,dt+D[x(T)]\right\},}$

где С и D — функции стоимости, определяющие соответственно интегральную и терминальную часть функционала. x(t) — вектор, определяющий состояние системы в каждый момент времени. Его начальное значение x(0) считается известным. Вектор управления u(t) следует выбрать таким образом, чтобы добиться минимизации значения V.

Эволюция системы под действием управления u(t) описывается следующим образом:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=F[x(t),u(t)].}$

Для такой простой динамической системы, уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана принимают следующий вид:

${\displaystyle {\dot {V}}(x,t)+\min _{u}\left\{\nabla V(x,t)\cdot F(x,u)+C(x,u)\right\}=0}$

(под ${\displaystyle a\cdot b}$ подразумевается скалярное произведение) и задаются значением в конечный момент времени T:

${\displaystyle V(x,T)=D(x).}$

Неизвестная в этом уравнении — беллмановская «функция значения» V(x, t), которая отвечает максимальной цене, которую можно получить, ведя систему из состояния (x, t) оптимальным образом до момента времени T. Соответственно, интересующая нас оптимальная стоимость — значение V = V(x(0), 0).

Продемонстрируем интуитивные рассуждения, которые приводят к этому уравнению. Пусть ${\displaystyle V{\big (}x(t),t{\big )}}$ — функция значения, тогда рассмотрим переход от момента времени t к моменту t + dt в соответствии с принципом Беллмана:

${\displaystyle V{\big (}x(t),t{\big )}=\min _{u}\left\{C{\big (}x(t+dt),u(t+dt){\big )}\,dt+V{\big (}x(t+dt),t+dt{\big )}\right\}.}$

Разложим последнее слагаемое по Тейлору:

${\displaystyle V{\big (}x(t+dt),t+dt{\big )}=V{\big (}x(t),t{\big )}+{\dot {V}}{\big (}x(t),t{\big )}\,dt+\nabla V{\big (}x(t),t{\big )}\cdot {\dot {x}}(t)\,dt+o(dt^{2}).}$

Осталось перенести V(x, t) влево, поделить на dt и перейти к пределу.

• R. E. Bellman: Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations. Proc. Nat. Acad. Sci. 40, 1954, 231—235.
• R. E. Bellman: Dynamic Programming, Princeton 1957.
• R. Bellman, S. Dreyfus: An application of dynamic programming to the determination of optimal satellite trajectories. J. Brit. Interplanet. Soc. 17, 1959, 78—83.