Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:
где — это оператор Лапласа, а неизвестная функция определена в (на практике уравнение Гельмгольца применяется для ).
Вывод уравнения
Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение
- ,
где — многомерная пространственная переменная. Пусть функции и допускают разделение: , и пусть . Поскольку в пространстве фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель , наше уравнение приводится к виду
- ,
где — это квадрат модуля волнового вектора.
Решение уравнения Гельмгольца
Случай однородного уравнения
Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса в полярных координатах () уравнение принимает вид
Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от :
- ,
- ,
а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению
- .
Фундаментальными решениями уравнений для и для являются, соответственно, функции и где — -й корень функции Бесселя -го порядка.
Случай неоднородного уравнения
Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:
Покажем, что в трёхмерном случае фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:
В самом деле, воспользуемся равенствами:
и формулой, доказываемой в курсе математической физики:
Получаем:
Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:
а в одномерном:
Литература
|
---|
Виды уравнений | |
---|
Типы уравнений | |
---|
Краевые условия | |
---|
Уравнения математической физики | |
---|
Методы решения | |
---|
Сеточные методы | Конечноэлементные методы | |
---|
Другие методы | |
---|
|
---|
Не сеточные методы | |
---|
|
---|
Исследование уравнений | |
---|
Связанные темы | |
---|