Уравнение Пикара — Фукса

Уравнение Пикара — Фукса — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, решения которого описывают периоды эллиптических кривых. Названо в честь Эмиля Пикара и Лазаруса Фукса.

Пусть

${\displaystyle j={\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}}$

является j-инвариантом с модулярными инвариантами ${\displaystyle g_{2}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ эллиптической кривой в форме Вейерштрасса:

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}.\,}$

Отметим, что j-инвариант является изоморфизмом с римановой поверхности ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ на риманову сферу ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$; где ${\displaystyle \mathbb {H} }$ — верхняя полуплоскость, а ${\displaystyle \Gamma }$ — модулярная группа. Тогда уравнение Пикара-Фукса имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dj^{2}}}+{\frac {1}{j}}{\frac {dy}{dj}}+{\frac {31j-4}{144j^{2}(1-j)^{2}}}y=0.\,}$

В Q-форме оно выглядит следующим образом

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dj^{2}}}+{\frac {1-1968j+2654208j^{2}}{4j^{2}(1-1728j)^{2}}}f=0.\,}$

Это уравнение можно привести к форме гипергеометрического дифференциального уравнения. У него есть два линейно независимых решения, называемых периодами эллиптических функций. Отношение этих двух периодов равно отношению периодов τ, стандартной координате на верхней полуплоскости. Однако отношение этих двух решений гипергеометрического уравнения также известно как отображение треугольника Шварца^[англ.].

Уравнение Пикара-Фукса может быть приведено к форме дифференциального уравнения Римана, и таким образом решения могут быть напрямую выражены с помощью P-функций Римана. Один из вариантов

${\displaystyle y(j)=P\left\{{\begin{matrix}0&1&\infty &\;\\{1/6}&{1/4}&0&j\\{-1/6\;}&{3/4}&0&\;\end{matrix}}\right\}\,}$

Можно предложить как минимум четыре метода для нахождения обратной j-функции.

Дедекинд определяет j-функцию через её Шварцеву производную в своём письме Борхардту. В виде простейшей дроби она раскрывает геометрию фундаментальной области:

${\displaystyle 2(S\tau )(j)={\frac {1-{\frac {1}{4}}}{(1-j)^{2}}}+{\frac {1-{\frac {1}{9}}}{j^{2}}}+{\frac {1-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}}{j(1-j)}}={\frac {3}{4(1-j)^{2}}}+{\frac {8}{9j^{2}}}+{\frac {23}{36j(1-j)}}}$

где (Sƒ)(x) — Шварцева производная ƒ по отношению к x.

В алгебраической геометрии было показано, что это уравнение является частным случаем общего явления, связности Гаусса — Манина.

• Schnell, Christian, On Computing Picard-Fuchs Equations (PDF)
• J. Harnad and J. McKay, Modular solutions to equations of generalized Halphen type, Proc. R. Soc. Lond. A 456 (2000), 261—294,

• J. Harnad, Picard-Fuchs Equations, Hauptmoduls and Integrable Systems, Chapter 8 (Pgs. 137—152) of Integrability: The Seiberg-Witten and Witham Equation (Eds. H.W. Braden and I.M. Krichever, Gordon and Breach, Amsterdam (2000)). arXiv: solv-int/9902013
• Подробное доказательство уравнения Пикара-Фукса: Milla, Lorenz (2018), A detailed proof of the Chudnovsky formula with means of basic complex analysis, arXiv:1809.00533