Уравнение Слуцкого

В микроэкономике уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.

Математически уравнение Слуцкого выводится из дифференцирования маршалловского спроса на i-й товар по цене j-го товара с использованием того факта, что маршалловский спрос выражается через компенсированный спрос:

${\displaystyle x_{i}(p,{\bar {u}})=x_{i}(p,e(p,{\bar {u}})),}$

${\displaystyle {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial e({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}-x_{j}({\tilde {p}},{\tilde {I}})\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}},}$

где ${\displaystyle {\tilde {p}},{\tilde {I}},{\bar {u}}}$ — заданные уровни цен, дохода и полезности. Корректность последнего перехода в уравнении Слуцкого объясняется леммой Шепарда.

Первое слагаемое в уравнении Слуцкого показывает реакцию на изменение относительных цен и носит название эффекта замещения; второе слагаемое показывает реакцию на изменение дохода и носит название эффекта дохода.

Если умножить исходное уравнение Слуцкого на ${\displaystyle p_{j}}$ и разделить ${\displaystyle x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}$, то получим уравнение Слуцкого в терминах эластичностей спроса по цене и доходу:

${\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}=\varepsilon _{ip_{j}}^{h}-\varepsilon _{iI}\cdot \alpha _{i}}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}}$ - эластичность спроса на i-й товар по цене j-го

${\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}^{h}}$ - эластичность компенсированного спроса на i-й товар по цене j-го (то есть без учета эффекта дохода)

${\displaystyle \varepsilon _{iI}}$ - эластичность спроса на i-й товар по доходу потребителя

${\displaystyle \alpha _{i}}$ - доля затрат на покупку i-го товара в доходе потребителя

Частные производные ${\displaystyle s_{ij}={\frac {\partial x_{i}(p,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial p_{j}}}+x_{j}(p,I)\cdot {\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial I}}}$ могут быть сведены в матрицу Слуцкого коэффициентов замещения S(p, I), обладающую следующими свойствами:

1. Симметричность: ${\displaystyle s_{ij}=s_{ji}}$ (следует из леммы Шепарда и теоремы Юнга);
2. Отрицательная полуопределенность;
3. Равенство нулю при умножении на вектор цен: ${\displaystyle S(p,I)\mathbf {p} =0}$.

Матричное представление полезно тем, что свойства матрицы позволяют не вычислять непосредственно все частные производные.

Товар Гиффена является благом, спрос на который растет при повышении цены. Является частным случаем низкокачественных (неполноценных)товаров. В крайнем случае неполноценности дохода, размер эффекта дохода превышал размер эффекта замещения, что приводило к положительному совокупному изменению спроса, возникающий в ответ на изменение цены. Уравнение Слуцкого, разбивающее изменение спроса на чистый эффект замещения и эффект дохода, объясняет, почему закон спроса не действует для товаров Гиффена.

https://web.archive.org/web/20070504015028/http://www.math.kemsu.ru/faculty/kmc/book/matekon/Chapter3/par3_7.html

http://50.economicus.ru/index.php?ch=2&le=16&r=1&z=1

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5..