Уравнение электромагнитной волны

Уравнение электромагнитной волны  — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распространение электромагнитных волн через среду или в вакуумe. Это трёхмерная форма волнового уравнения. Однородная форма уравнения, записанная в терминах либо электрического поля E, либо магнитного поля B, имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

где

${\displaystyle v_{ph}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}$

— скорость света (т.e. фазовая скорость) в среде с магнитной проницаемостью μ и диэлектрической проницаемостью ε, а ∇² — оператор Лапласа. В вакууме v_ph = c₀ = 299,792,458 м/с — фундаментальная физическая постоянная^[1]. Уравнение электромагнитной волны вытекает из уравнения Максвелла. В большинстве старых литературных источников B называется плотностью магнитного потока или магнитной индукцией. Следующие уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$

обозначают, что любая электромагнитная волна должна быть поперечной, где электрическое поле E и магнитное поле B оба перпендикулярны направлению распространения волны.

В своей статье 1865 года под названием «Динамическая теория электромагнитного поля^[англ.]» Джеймс Максвелл использовал поправку к закону циркуляции Ампера, которую он внёс в часть III своей статьи 1861 года «О физических силовых линиях». В части VI своей статьи 1864 года под названием «Электромагнитная теория света»^[2], Максвелл объединил ток смещения с некоторыми другими уравнениями электромагнетизма и получил волновое уравнение со скоростью, равной скорости света. Он комментировал:

Согласование результатов, по-видимому, показывает, что свет и магнетизм являются воздействиями одного и того же вещества, и что свет является электромагнитным возмущением, распространяющимся через поле в соответствии с электромагнитными законами^[3].

Вывод Максвеллом уравнения электромагнитной волны был заменён в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим объединение исправленной версии закона циркуляции Ампера с законом индукции Фарадея.

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме с использованием современного метода, мы начинаем с уравнений Максвелла в форме Хевисайда. В пространстве без тока и заряда эти уравнения запишутся в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}}$

Это общие уравнения Максвелла, специализированные для случая, когда заряд и ток равны нулю. Взятие ротора вихревого уравнения даёт:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)&=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

Мы можем использовать векторное тождество

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$

где V — любая векторная функция пространства. И

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)}$

где ∇V — диада, которая при работе с оператором дивергенции ∇ ⋅ даёт вектор. Поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$

первый член справа в тождестве обращается в нуль, и мы получаем волновые уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=0\\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\text{м/с}}}$

— скорость света в свободном пространстве.

Эти релятивистские уравнения могут быть записаны в контравариантной форме как

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

где электромагнитный четырехпотенциал равен

${\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$

с условием калибровки Лоренца:

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$

и где

${\displaystyle \Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$

является оператором Д’Аламбера.

Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами, производная заменяется ковариантной производной и появляется новое слагаемое, которое зависит от кривизны.

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0}$

где ${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }}$ — тензор Риччи, а точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование.

Допускается обобщение условия калибровки Лоренца^[англ.] в искривлённом пространстве-времени:

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0.}$

Локализованные изменяющиеся во времени плотности заряда и тока могут выступать в качестве источников электромагнитных волн в вакууме. Уравнения Максвелла можно записать в виде волнового уравнения с источниками. Добавление источников к волновым уравнениям делает дифференциальные уравнения в частных производных неоднородными

Общим решением уравнения электромагнитной волны является линейная суперпозиция волн в виде

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{aligned}}}$

практически для любой хорошо управляемой функции g безразмерного аргумента φ, где ω — угловая частота (в радианах в секунду), и k = (k_x, k_y, k_z) — волновой вектор (в радианах на метр).

Хотя функция g может быть и часто является монохроматической синусоидальной волной, она не обязательно должна быть синусоидальной или даже периодической. На практике, g не может иметь бесконечную периодичность, потому что любая реальная электромагнитная волна всегда имеет конечную протяжённость во времени и пространстве. В результате, исходя из теории разложения Фурье, реальная волна должна состоять из суперпозиции бесконечного набора синусоидальных частот.

К тому же, чтобы решение было правильным, волновой вектор и угловая частота не должны быть независимыми; они должны подчиняться дисперсионному соотношению:

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$

где k — волновое число и λ — длина волны. Переменная c может использоваться в этом уравнении только тогда, когда электромагнитная волна находится в вакууме.

Простейший набор решений волнового уравнения вытекает из предположения о синусоидальных формах волн одной частоты в разделяемой форме:

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}}$

где

• i — мнимая единица,
• ω = 2π f  — угловая частота в радианах в секунду,
•  f  — частота в Гц, и
• ${\displaystyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)}$ — формула Эйлера.

Рассмотрим плоскость, определяемую единичным нормальным вектором

${\displaystyle \mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.}$

Тогда решения волновых уравнений для плоских бегущих волн имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}}$

где r = (x, y, z) — позиционный вектор (в метрах).

Эти решения представляют собой плоские волны, движущиеся в направлении нормального вектора n. Если мы определим направление z как направление n, а направление x как направление E, то по закону Фарадея магнитное поле лежит в направлении y и связано с электрическим полем соотношением

${\displaystyle c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.}$

Поскольку дивергенция электрического и магнитного полей равна нулю, поля в направлении распространения отсутствуют.

Это решение является линейно поляризованным решением волновых уравнений. Существуют также циркулярно поляризованные решения, в которых поля вращаются вокруг нормального вектора.

Из-за линейности уравнений Максвелла в вакууме их решения можно разложить в суперпозицию синусоид. На этом основан метод преобразования Фурье для решения дифференциальных уравнений. Синусоидальное решение уравнения электромагнитной волны имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{aligned}}}$

где

• t — время (в секунду),
• ω — угловая частота (в радианах в секунду),
• k = (k_x, k_y, k_z) — волновой вектор (в радианах на метр), и
• ${\displaystyle \phi _{0}}$ — фазовый угол (в радианах).

Волновой вектор связан с угловой частотой следующим образом

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$

где k — волновое число и λ — длина волны.

Электромагнитный спектр — это график зависимости величины поля (или энергии) от длины волны.

Если предположить, что монохроматические поля изменяются во времени по закону ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$, то при использовании уравнений Максвелла для устранения B уравнение электромагнитной волны сводится к уравнению Гельмгольца для E:

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,}$

с k = ω/c, как указано выше. Альтернативно, можно исключить E в пользу B, чтобы получить:

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .}$

Общее электромагнитное поле с частотой ω может быть записано как сумма решений этих двух уравнений. Трёхмерные решения уравнения Гельмгольца можно выразить в виде разложения по сферическим функциям с коэффициентами, пропорциональными сферическим функциям Бесселя. Однако применение этого разложения к каждой компоненте вектора E или B даст решения, которые в общем случае не являются бездивергентными (∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0), и поэтому требуют дополнительных ограничений на коэффициенты.

Мультипольное разложение обходит эту трудность, разлагая не E или B, а r ⋅ E или r ⋅ B на сферические функции. Эти разложения по-прежнему решают исходные уравнения Гельмгольца для E и B потому что для бездивергентного поля F, ∇² (r ⋅ F) = r ⋅ (∇² F). Полученные выражения для общего электромагнитного поля имеют вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]\,,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}}$ и ${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$ являются электрическими мультипольными полями порядка (l, m), и ${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$ и ${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}}$ — соответствующие им магнитные мультипольные поля, и a_E(l, m) и a_M(l, m) — коэффициенты разложения. Мультипольные поля задаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\,,\end{aligned}}}$

где h_l^(1,2)(x) — сферические функции Ганкеля, E_l^(1,2) и B_l^(1,2) определяются граничными условиями, и

${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}}$

— векторные сферические гармоники, нормированные таким образом, что

${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.}$

Мультипольное разложение электромагнитного поля находит применение в ряде задач, связанных со сферической симметрией, например, в задачах о диаграмме направленности антенн или ядерном гамма-излучении. Часто в таких приложениях интересует мощность, излучаемая в дальнем поле. В этих областях поля E и B асимптотически приближаются к

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}}$

Угловое распределение усреднённой по времени излучаемой мощности даётся следующим образом:

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.}$

• Maxwell, James Clerk (1865). "A dynamical theory of the electromagnetic field". Philosophical transactions of the Royal Society of London (155): 459—512.

• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). — Prentice Hall, 1998. — ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). — W. H. Freeman, 2004. — ISBN 0-7167-0810-8.
• Purcell, Edward M. Electricity and Magnetism. — McGraw-Hill, 1985. — ISBN 0-07-004908-4.
• Haus, Hermann A. Electromagnetic Fields and Energy / Hermann A. Haus, James R. Melcher. — Prentice-Hall, 1989. — ISBN 0-13-249020-X.
• Hoffmann, Banesh. Relativity and Its Roots. — Freeman, 1983. — ISBN 0-7167-1478-7.
• Staelin, David H. Electromagnetic Waves / David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, Jin Au Kong. — Prentice-Hall, 1994. — ISBN 0-13-225871-4.
• Stevens, Charles F. The Six Core Theories of Modern Physics. — MIT Press, 1995. — ISBN 0-262-69188-4.
• Zahn, Markus. Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach. — John Wiley & Sons, 1979. — ISBN 0-471-02198-9.

• Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). — Wiley, 1998. — ISBN 0-471-30932-X.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М., 2016. — («Теоретическая физика», том II).
• Maxwell, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. — Dover, 1954. — ISBN 0-486-60637-6.
• Misner, Charles W. Gravitation / Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler. — W.H. Freeman, 1970. — ISBN 0-7167-0344-0.

• Matthews, P. C. Vector Calculus. — Springer, 1998. — ISBN 3-540-76180-2.
• Schey, H. M. Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus, 4th edition. — W. W. Norton & Company, 2005. — ISBN 0-393-92516-1.