Урэлемент

Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории множеств, разделе математики, урэлемент или ур-элемент (от немецкой приставки ur-, обозначающей «изначальный» или «исходный») — это объект (конкретный или абстрактный), который не является множеством, но который может быть элементом множества. Урэлементы иногда называются «атомами».

Теория

Если $U$ — это урэлемент, не имеет смысла говорить, что

X\in U,

однако

U\in X

является законным утверждением.

Не следует путать урэлемент с пустым множеством — утверждение

X\in \varnothing

является правильно оформленным, но ложным.

Этот взгляд на урэлементы базируется на двухтиповой теории множеств, то есть любое множество находится в области, содержащей два типа сущностей, а именно — множества и урэлементы. Альтернативный подход заключается в том, что можно рассматривать урэлементы как отдельные пустые множества в однотиповой теории множеств. В этом случае аксиома расширяемости должна быть сформулирована и применяться с осторожностью.

Урэлементы в теории множеств

Урэлементы впервые появились в теории множеств Цермело в 1908 году. Последующие исследования выявили, что в контексте этой и близких аксиоматических теорий множеств урэлементы имели небольшое математическое значение. Таким образом, в канонических аксиоматических теориях множеств ZF и ZFC урэлементы не упоминаются вовсе. В теории типов объект типа 0 может быть назван урэлементом, отсюда и название «атом».

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств.

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ , но в редких случаях может обозначаться $\text{[math]}$ .

Пусто́е мно́жество — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совоку́пность каких-либо объектов — элеме́нтов этого множества. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы.

Парадо́кс Ра́ссела — теоретико-множественный парадокс (антиномия), открытый в 1901 году британским математиком Бертраном Расселом и демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело.

Аксио́мой вы́бора, англ. аббр. AC называется следующее высказывание теории множеств:

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Например, внутренность шара является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Прямое произведение — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов заданных двух непустых исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» произведение двух множеств ввёл Георг Кантор.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Ультрафильтр на решётке $\text{[math]}$ — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Непреры́вность действи́тельных чи́сел — свойство системы действительных чисел $\text{[math]}$ , которым не обладает множество рациональных чисел $\text{[math]}$ . Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел. Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду, принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, теорема о точной верхней грани. В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться как аксиома — в той или иной формулировке, либо доказываться в качестве теоремы.

Основа́ния матема́тики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы.

Система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя в метаматематике — одна из основных аксиоматических теорий множеств. Эта система является расширением канонической теории Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Предложения, сформулированные на языке теории ZFC, доказуемы в ZFC тогда и только тогда, когда они доказуемы в NBG.

Начальный объект — объект $\text{[math]}$ категории $\text{[math]}$ такой, что для любого объекта $\text{[math]}$ существует единственный морфизм $\text{[math]}$ .

Гомотопическая теория типов — математическая теория, особый вариант теории типов, снабжённый понятиями из теории категорий, алгебраической топологии, гомологической алгебры; базируется на взаимосвязи между понятиями о гомотопическом типе пространства, высших категориях и типах в логике и языках программирования.

Глобальное поле — это поле одного из двух видов:

поле алгебраических чисел, то есть конечное расширение поля рациональных чисел $\text{[math]}$ ,

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.