Усечение (геометрия)
Усечённый квадрат является правильным восьмиугольником: t{4} = {8} = | Усечённый куб t{4,3} или | Усечённые кубические соты[англ.] t{4,3,4} или |
Усечение — операция в пространстве любой размерности, которая отсекает вершины многогранника и при которой образуются новые грани на месте вершин. Термин берёт начало от названий архимедовых тел, данных Кеплером.
Однородное отсечение
В общем случае любой многогранник может быть усечён с некоторой степенью свободы выбора глубины усечения, что показано в статье Нотация Конвея для многогранников.
Обычно применяемый вид усечения — однородное усечение, при котором операция усечения применяется к правильному многограннику и результатом которого получается однородный многогранник с равными длинами рёбер. В этом случае нет свободы выбора и в результате получаем вполне определённые геометрические тела, похожие на правильные многогранники.
В общем случае все однородные многогранники с одним обведённым узлом (в диаграмме Коксетера — Дынкина) имеют однородное усечение. Например, икосододекаэдр, представленный символами Шлефли r{5,3} или и имеющий диаграммы Коксетера — Дынкина или , имеет однородное усечение — ромбоусечённый икосододекаэдр с нотациями tr{5,3} или , . В диаграмме Коксетера — Дынкина эффект усечения проявляется в том, что у всех узлов, смежных с обведённым, появляются кружки.
Усечение многоугольников
Усечённый n-сторонний многоугольник будет иметь 2n сторон. Однородно усечённый правильный многоугольник становится другим правильным многоугольником: t{n} = {2n}. Полное усечение, r{3}, является другим правильным многоугольником, двойственным[англ.] исходному.
Правильные многоугольники можно также представить диаграммой Коксетера — Дынкина, , и его однородное усечение будет иметь диаграмму , а его полное усечение — диаграмму . Граф представляет группу Коксетера I2(n), в которой каждый узел является зеркалом, а каждое ребро представляет угол π/n между зеркалами, кружки же вокруг одного или двух зеркал показывают, какие из них активны.
{3} | t{3} = {6} | r{3} = {3} |
Звёздчатые многоугольники могут быть тоже усечены. Усечённая пентаграмма {5/2} будет выглядеть как пятиугольник, но, в действительности, является дважды накрытым (вырожденным) десятиугольником ({10/2}) с двумя множествами наложенных друг на друга вершин и сторон. Усечённая большая гептаграмма (семиугольная звезда) {7/3} даёт четырнадцатиугольную звезду {14/3}.
Однородное усечение правильных многогранников и мозаик
Когда речь идёт об усечении правильных многогранников или мозаик из правильных многоугольников[англ.], обычно использыется «однородное усечение», что предполагает усечение до состояния, когда исходные грани становятся правильными многоугольниками с удвоенным числом сторон.
Последовательность на рисунке показывает пример усечения куба, где показаны четыре шага из непрерывного процесса усечения от полного куба до полного усечения куба. Конечное тело — кубооктаэдр.
Среднее изображение является однородным усечённым кубом. Он представлен символом Шлефли t{p,q,…}.
Глубокое усечение[англ.] — это более сильное усечение, удаляющее все исходные рёбра, но оставляющие внутренние части исходных граней. Например, усечённый октаэдр является глубоко усечённым кубом: 2t{4,3}.
Полное глубокое усечение называется биректификацией и оно сводит исходные грани к точкам. Многогранник при этом превращается в двойственный многогранник. Например, октаэдр является полным глубоким усечением куба: {3,4} = 2r{4,3}.
Ещё один тип усечения — всестороннее усечение, при котором отсекаются рёбра и вершины, что даёт прямоугольники вместо рёбер.
Многогранники в более высоких размерностях имеют другие уровни усечений — ранцинацию[англ.], при которой отсекаются грани, рёбра и вершины. В размерностях выше 5 существует стерикация[англ.], при которой отсекаются грани, рёбра и вершины, а также трёхмерные грани.
Усечение рёбер
Усечение рёбер — это снятие фаски с многогранника, как в случае всестороннего усечения, но вершины при этом остаются, а рёбра заменяются шестиугольниками. В 4-мерном многограннике рёбра заменяются на удлинённые бипирамиды[англ.].
Альтернации или частичные усечения
Альтернация или частичное усечение удаляет только некоторые из исходных вершин.
При частичном усечении или альтернации[англ.] половина вершин и рёбер полностью удаляется. Операция применима к многогранникам, грани которого имеют чётное число сторон. Грани сокращают число сторон вдвое, а квадратные грани переходят рёбра. Например, тетраэдр является альтернацией куба, h{4,3}.
Умаление[англ.] — более общий термин, использующийся для многогранников Джонсона, предполагает удаление одной или более вершин, рёбер или граней не трогая оставшиеся вершины. Например, триуменьшенный икосаэдр[англ.] получается из правильного икосаэдра путём удаления трёх вершин.
Другие частичные усечения основываются на симметрии. Например, тетраэдрально уменьшенный додекаэдр[англ.].
Обобщённые усечения
Процесс линейного усечения может быть обобщён путём разрешения параметра усечения быть отрицательным или разрешения проходить через середину ребра, что даёт самопересекающиеся звёздчатые многогранники. Такие многогранники могут быть связаны с некоторыми правильными звёздчатыми многоугольниками[англ.] и однородными звёздчатыми многогранниками.
- Мелкое усечение — рёбра уменьшаются в размерах, грани удваивают число сторон, на месте бывших вершин образуются новые грани.
- Однородное усечение — специальный случай, при котором все полученные рёбра имеют одинаковую длину. В усечённом кубе, t{4,3}, квадратные грани превращаются в восьмиугольники, а вместо вершин образуются треугольники.
- Антиусечение обратно мелкому усечению. В результате получается многогранник, который похож на исходный, но имеет части, висящие на углах, вместо отрезания углов.
- Полное усечение — предельное мелкое усечение, где рёбра сводятся к точкам. Примером служит Кубооктаэдр, r{4,3}.
- Гиперусечение является видом усечения, которое идёт далее полного усечения, обращая исходные рёбра, что приводит к самопересечениям.
- Квазиусечение является видом усечения, идущего далее гиперусечения, где обращённые рёбра становятся длиннее исходных. Это усечение можно получить из исходного многогранника путём отступления граней от рёбер, то есть движению в обратную сторону от вершины. Например, квазиусечение квадрата даёт правильную октаграмму (t{4,3}={8/3}), а квазиусечение куба даёт однородный звёздчатый усечённый гексаэдр[англ.], t{4/3,3}.
Типы усечения квадрата, {4}. Исходные рёбра показаны красным цветом, а новые рёбра, полученные в результате усечения — голубым. Однородное усечение является правильным восьмиугольником, t{4}={8}. Полное усечение квадрата становится опять квадратом с диагональной ориентацией сторон. Вершины пронумерованы против часовой стрелки цифрами от 1 до 4, полученные в результате усечения пары отмечены буквами a и b. |
⇨ | Куб {4,3} | ⇨ | Усечение t{4,3} | ⇨ | Полное усечение r{4,3} | ⇩ |
Антиусечение | Гиперусечение | |||||
⇧ | Полное квазиусечение | ⇦ | Квазиусечение t{4/3,3}[англ.] | ⇦ | Полное гиперусечение | ⇦ |
См. также
- Однородный многогранник
- Однородный четырёхмерный многогранник[англ.]
- Двойное усечение (геометрия)[англ.]
- Полное усечение
- Альтернация (геометрия)[англ.]
- Нотация Конвея для многогранников
Примечания
Литература
- H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes[англ.]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc, 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
- Norman Johnson. Uniform Polytopes. — Manuscript, 1991.
- Norman Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto: Ph.D. Dissertation, 1966.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Truncation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Glossary ForH yperspace
- Polyhedra Names, truncation
Основа | Усечение | Полное усечение | Глубокое усечение[англ.] | Двойствен- ность | Растяжение | Всеусечение[англ.] | Альтернация[англ.] | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
t0{p, q} {p, q} | t01{p,q}[англ.] t{p, q} | t1{p,q} r{p, q} | t12{p,q}[англ.] 2t{p, q} | t2{p, q} 2r{p, q} | t02{p,q}[англ.] rr{p, q} | t012{p,q}[англ.] tr{p, q} | ht0{p,q}[англ.] h{q, p} | ht12{p,q} s{q, p} | ht012{p,q} sr{p, q} |