Условный экстремум

Усло́вный экстре́мум — максимальное или минимальное значение, которое функция, определённая на множестве ${\displaystyle G}$ и принимающая вещественные значения, достигает в предположении, что значения некоторых других функций с той же областью определения подчинены определённым ограничительным условиям (если такие дополнительные условия отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме)^[1].

В частности, множество ${\displaystyle G}$ может быть подмножеством арифметического векторного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ а упомянутые ограничительные условия, в свою очередь, могут быть заданы в виде равенств или неравенств. Ниже рассматриваются классическая задача на условный экстремум, в которой все условия заданы в виде равенств, а также задача Лагранжа — одна из классических задач вариационного исчисления^[1].

Пусть ${\displaystyle {G\subset \mathbb {R} ^{n}}}$ — открытое множество, и на нём заданы функции  ${\displaystyle y_{i}=f_{i}({\vec {x}}),\;i=1,2,\dots ,m.}$  Пусть ${\displaystyle E=\lbrace \,{\vec {x}}\in G:\,f_{i}({\vec {x}})=0\;\;\forall \,i=1,2,\dots ,m\,\rbrace .}$

Уравнения

${\displaystyle (*)\qquad f_{i}({\vec {x}})=0}$

называют уравнениями связей (терминология заимствована из механики).

Пусть на ${\displaystyle G}$ определена также функция ${\displaystyle y=f_{0}({\vec {x}}).}$  Точка ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}\in E}$ называется точкой условного экстремума данной функции относительно уравнений связей ${\displaystyle (*),}$ если она является точкой обычного (безусловного) экстремума функции ${\displaystyle f_{0}}$ на множестве ${\displaystyle E}$  (модификация определения экстремума сводится к тому, что в нём вместо окрестностей в ${\displaystyle G}$, то есть ${\displaystyle U_{G}({\vec {x}}_{0})}$, рассматриваются окрестности в ${\displaystyle E}$, то есть ${\displaystyle U_{E}({\vec {x}}_{0})=U_{G}({\vec {x}}_{0})\bigcap E}$)^[2].

Предположим, что все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции непрерывно дифференцируемы, и пусть ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ — точка условного экстремума функции ${\displaystyle f_{0}}$ при выполнении уравнений связей ${\displaystyle (*).}$  Тогда в этой точке градиенты ${\displaystyle \nabla f_{i},\,i=0,1,\dots ,m}$  являются линейно зависимыми, т. e.  ${\displaystyle \exists \,\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m\,\colon \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i}|\neq 0,}$  но  ${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0}$ ^[3].

Числа ${\displaystyle \lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m}$ называются множителями Лагранжа и определены с точностью до умножения на произвольную ненулевую константу. Наибольший интерес представляет случай, когда ${\displaystyle \lambda _{0}\neq 0}$  (тогда, умножив все ${\displaystyle \lambda _{i}}$ на подходящую ненулевую константу, можно сделать множитель ${\displaystyle \lambda _{0}}$ равным ${\displaystyle 1}$ и, таким образом, вообще исключить его из рассмотрения). В такой ситуации вместо только что сформулированной теоремы пользуются следующим следствием из неё^[4].

Если ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ — точка условного экстремума функции ${\displaystyle f_{0}}$ относительно уравнений связей ${\displaystyle (*),}$ и в ней градиенты ${\displaystyle \nabla f_{i},i=1,\dots ,m}$  линейно независимы, то  ${\displaystyle \exists \,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}$ такие, что в данной точке  ${\displaystyle \nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\dots +\lambda _{m}\nabla f_{m}=0.}$  В координатном виде это векторное равенство эквивалентно выполнению равенств

${\displaystyle (**)\qquad {\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\dots +\lambda _{m}{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,}$

где ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ^[3].

Равенствам ${\displaystyle (**)}$ можно дать следующую интерпретацию. Предположим, что для чисел ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}$ данные равенства выполняются, и объединим их в столбец ${\displaystyle {\vec {\lambda }}_{0}.}$  Составим функцию Лагранжа:

${\displaystyle L({\vec {x}};{\vec {f}},{\vec {\lambda }})=f_{0}({\vec {x}})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x}})\,,}$

где ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}$ — уже произвольные числа. Тогда при ${\displaystyle {\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}}$ точка ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ является стационарной точкой функции Лагранжа, а равенства ${\displaystyle (**)}$ могут быть записаны в виде

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{2}}}\,=\,\dots \,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\,=\,0\,;}$

эти соотношения и являются условиями стационарности точки ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}.}$  Добавляя к ним уравнения связей ${\displaystyle (*),}$ получаем ${\displaystyle n+m}$ уравнений относительно ${\displaystyle n+m}$ неизвестных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}$^[5][6].

Пример.  Найдём стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$  Здесь ${\displaystyle n=2,}$  ${\displaystyle m=1,}$  ${\displaystyle f_{0}(x,y)=4xy,}$  ${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$  Составив функцию Лагранжа

${\displaystyle L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})}$

и записав условия её стационарности в точке условного экстремума

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\partial L}{\partial y}}\equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,}$

находим:  ${\displaystyle \lambda =-2}$  и  ${\displaystyle x=y=r/{\sqrt {2}}}$  (прямоугольник максимальной площади оказался квадратом)^[6].

Если равенства ${\displaystyle (**)}$ при ${\displaystyle {\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}}$ выполнены и при этом (дополнительно предполагается, что в точке ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции двукратно непрерывно дифференцируемы)  ${\displaystyle {\rm {d}}^{2}L}$ представляет собой отрицательно (положительно) определённую квадратичную форму переменных ${\displaystyle {\rm {d}}x_{1},\dots ,{\rm {d}}x_{n},}$  то ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ является точкой строгого условного максимума функции ${\displaystyle f_{0}}$ (строгого условного минимума для положительно определенной формы). Если же рассматриваемая квадратичная форма не является знакоопределённой, тогда условного экстремума нет^[7].

Данная задача относится к вариационному исчислению и является одним из возможных обобщений классической задачи на условный экстремум. В задаче Лагранжа требуется найти непрерывно дифференцируемую функцию ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}(t),}$  заданную на отрезке ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$  и доставляющую экстремум (максимум или минимум) функционалу

${\displaystyle J\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,\,{\rm {d}}t}$

(точкой обозначена операция дифференцирования по ${\displaystyle t}$)  при фиксированных граничных условиях  ${\displaystyle {\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0},}$  ${\displaystyle {\vec {x}}(t_{1})={\vec {x}}_{1}}$  и выполнении уравнений связей

${\displaystyle f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,=\,0\,,}$

где ${\displaystyle i=1,2,\dots ,m}$ ^[8][9].

В данной задаче также применим метод множителей Лагранжа. Предполагая уравнения связей независимыми, вводят в рассмотрение ${\displaystyle m}$ неизвестных функций ${\displaystyle \lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)}$  и сводят исходную задачу к задаче безусловной оптимизации, заменяя подынтегральную функцию функцией

${\displaystyle \Phi \,=\,F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,+\,\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(t)\,f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,;}$

в качестве аналога равенств ${\displaystyle (**)}$ (т. e. в роли необходимых условий экстремума) теперь выступают уравнения Эйлера — Лагранжа, имеющие в рассматриваемом случае вид

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\dot {x}}_{k}}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{k}}}\,=\,0\,,}$

где ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}$  Из этих ${\displaystyle n}$ обыкновенных дифференциальных уравнений, дополненных уравнениями связей, находят (с учётом имеющихся граничных условий) ${\displaystyle n+m}$ неизвестных функций ${\displaystyle x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t),\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)}$ ^[10].

• Метод множителей Лагранжа
• Экстремум

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. . Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. — 432 с.
• Корн Г., Корн Т. . Справочник по математике для научных работников и инженеров. 4-е изд. — М.: Наука, 1978. — 832 с.
• Кудрявцев Л. Д. . Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Высшая школа, 1981. — 584 с.