Устранимая особая точка

Изолированная особая точка $z_{0}$ называется устранимой особой точкой функции $f(z)$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует конечный предел

\lim _{z\to z_{0}}f(z)=B,\quad B\in \mathbb {C}

и можно так доопределить функцию в этой точке значением её предела $B$ , чтобы получить непрерывную и в этой точке функцию.

Критерии устранимости

Точка $z_{0}$ является устранимой особой точкой функции $f(z)$ тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана этой функции равна нулю.
Если $f(z)$ аналитична в некоторой проколотой окрестности точки $z_{0}$ , то точка $z_{0}$ будет устранимой особенностью, если порядок роста функции в этой точке меньше единицы.

См. также

Теорема Римана об устранимой особой точке

Другие типы изолированных особых точек:

Литература

Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.

Похожие исследовательские статьи

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

<span class="mw-page-title-main">Предел функции</span> величина, к которой значение функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке

Преде́лом фу́нкции в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков», то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

<span class="mw-page-title-main">Условия Коши — Римана</span>

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную $\text{[math]}$ и мнимую $\text{[math]}$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $\text{[math]}$ .

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области $\text{[math]}$ — голоморфная функция $\text{[math]}$ в области $\text{[math]}$ , которая в каждой особой точке $\text{[math]}$ имеет полюс.

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Изолированная особая точка $\text{[math]}$ называется полюсом функции $\text{[math]}$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

\text{[math]}

Изолированная особая точка — точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция $\text{[math]}$ однозначна и аналитична, а в самой точке либо не задана, либо недифференцируема. Например, точка $\text{[math]}$ является изолированной особой точкой для функции $\text{[math]}$ , а особая точка $\text{[math]}$ функции $\text{[math]}$ изолированной не является, поскольку основание обращается в нуль при $\text{[math]}$ для всякого целого $\text{[math]}$ .

Изолированная особая точка $\text{[math]}$ функции $\text{[math]}$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, называется существенно особой, если предел $\text{[math]}$ не существует.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Особенность или особая точка голоморфной функции f — точка комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе.

Теорема Римана — утверждение из теории функций комплексной переменной о заполнении устранимого разрыва.

Функция $\text{[math]}$ называется моногенной в точке $\text{[math]}$ , если предел

\text{[math]}

Для функции нескольких переменных $\text{[math]}$ можно определить понятие предела по одной из переменных $\text{[math]}$ при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.

Многозначная аналитическая функция — многозначная комплексная функция, получаемая при помощи аналитического продолжения по всем путям.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.