Факторион

Факторион — натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

• ${\displaystyle 1=1!}$
• ${\displaystyle 2=2!}$
• ${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$
• ${\displaystyle 40585=4!+0!+5!+8!+5!}$

Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.

Любое n-значное число не меньше ${\displaystyle \;10^{n-1}}$. Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше ${\displaystyle 9!\cdot n}$, где ${\displaystyle \;9!=362880}$. Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально, а второе — линейно), а уже ${\displaystyle 10^{8-1}=10000000>9!\cdot 8=2903040}$. Следовательно все факторионы состоят не более, чем из 7 цифр.

Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).

Таблица факторионов в системах счисления вплоть до шестнадцатеричной:

k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.

Полные списки k-факторионов:

1. k=2: 817926
2. k=3: 138267, 1103790
3. k=4: 12, 32, 104, 23076
4. k=5: 10
5. k=6: 4614, 484284
6. k=7: 21, 283150
7. k=8: 224, 322840, 368712
8. k=9: 441
9. k=10: 14660, 813680, 3729700
10. k=11: 341
11. k=12: Не существует.

В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover (1995) предложил следующие обобщения:

1. Факторион второго рода — равен произведению факториалов своих цифр, например: abc = a!⋅b!⋅c!
2. Факторион третьего рода — равен сумме факториалов чисел, образованных группами цифр, например: abc = (ab)! + c!

Оба определения порождают гораздо бо́льшие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы второго рода в десятичной системе только вырожденные (1 и 2), найдено несколько факторионов третьего рода (жирным шрифтом выделены группы цифр):

• 2 432 902 008 177 819 519
• 51 090 942 171 710 544 079
• 51 090 942 171 710 982 398
• 403 291 461 126 605 635 584 809 043
• 403 291 461 126 605 635 584 814 796

Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.

• Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
• Madachy, J. S. Madachy’s Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
• Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169–171 and 319—320, 1995.
• С. Л. Василенко. Числовые совпадения. — 2012.

• Weisstein, Eric W. Факторион (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A014080 в OEIS