Ферми-газ

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака — электронный газ.

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при ${\displaystyle T=0}$ равна ${\displaystyle W_{0}=0}$. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа ${\displaystyle W_{0}}$ с ${\displaystyle N}$ частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из ${\displaystyle N}$ квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия ${\displaystyle W_{0}}$ такого газа при ${\displaystyle T=0}$ будет отличной от нуля.

Величину ${\displaystyle W_{0}}$ несложно вычислить. Обозначим через ${\displaystyle \mu _{0}}$ энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при ${\displaystyle T=0}$. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже ${\displaystyle \mu _{0}}$ заняты, а все квантовые состояния с энергией выше ${\displaystyle \mu _{0}}$ — свободны.

Поэтому должно существовать ровно ${\displaystyle N}$ состояний с энергией ниже или равной ${\displaystyle \mu _{0}}$. Этого условия достаточно для нахождения ${\displaystyle \mu _{0}}$. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям ${\displaystyle \mathbf {k} }$ интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на ${\displaystyle h^{3}}$:

${\displaystyle {\frac {g}{h^{3}}}\iint 4\pi p^{2}\,dr\,dp=V{\frac {g}{h^{3}}}\int 4\pi p^{2}\,dp,}$

где ${\displaystyle g}$ — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число ${\displaystyle g=2}$, для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от ${\displaystyle p=0}$ до ${\displaystyle p_{0}}$, величины импульса самого высокого заполненного при ${\displaystyle T=0}$ состояния с энергией ${\displaystyle \mu _{0}=(2m)^{-1}p_{0}^{2}}$, и приравнивая результат к ${\displaystyle N}$, получаем с учётом того, что ${\displaystyle \rho =N/V}$:

${\displaystyle N=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}p_{0}^{3}=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}(2m\mu _{0})^{3/2},}$

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {3\rho }{4\pi g}}\right)^{1/3}h,}$

${\displaystyle \mu _{0}={\frac {p_{0}^{2}}{2m}}={\frac {h^{2}}{2m}}\left({\frac {3\rho }{4\pi g}}\right)^{2/3}}$

или для электронов с ${\displaystyle g=2}$:

${\displaystyle \mu _{0}={\frac {h^{2}}{8m}}\left({\frac {3\rho }{\pi }}\right)^{2/3},\quad g=2.}$

Величину ${\displaystyle \mu _{0}}$, наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Для ненулевых значений параметра ${\displaystyle \beta =1/kT}$ плотность числа электронов ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний

${\displaystyle {\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{3/2}\int \varepsilon ^{1/2}\,d\varepsilon }$

на множитель ${\displaystyle {\frac {1}{1+\exp[(\beta (\varepsilon -\mu )]}}}$, который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

${\displaystyle N(\varepsilon )={\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{3/2}{\frac {1}{1+\exp[\beta (\varepsilon -\mu )]}},}$

где величина ${\displaystyle \mu _{0}}$ — химический потенциал при ${\displaystyle T=0}$, а ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям ${\displaystyle \varepsilon }$, то можно определить ${\displaystyle \mu }$ как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }N(\varepsilon )\,d\varepsilon }$ полного числа частиц ${\displaystyle N}$. Отсюда видно, что для ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ величина ${\displaystyle \mu }$ есть функция параметров ${\displaystyle \mu _{0}}$ и ${\displaystyle \beta }$.

Энергию можно найти из соотношения:

${\displaystyle W=\int \limits _{0}^{\infty }\varepsilon N(\varepsilon )\,d\varepsilon ,}$

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

${\displaystyle I=\int \limits _{0}^{\infty }f(\varepsilon )g(\varepsilon )\,d\varepsilon ,}$

в котором функция ${\displaystyle f(\varepsilon )}$ есть некоторая простая и непрерывная функция от ${\displaystyle \varepsilon }$, например ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$ или ${\displaystyle \varepsilon ^{3/2}}$, и

${\displaystyle g(\varepsilon )={\frac {1}{1+\exp[\beta (\varepsilon -\mu )]}}.}$

Величина ${\displaystyle \mu _{0}/k}$ имеет порядок от ${\displaystyle 5\cdot 10^{4}}$ до ${\displaystyle 10^{5}}$ К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

${\displaystyle \mu =\mu _{0}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\beta \mu _{0})^{-2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}(\beta \mu _{0})^{-4}+\ldots \right],}$

которое выражает химический потенциал ${\displaystyle \mu }$ через параметры ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \mu _{0}}$.

Эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — ${\displaystyle (\beta \mu _{0})^{-2}\approx 10^{-4}}$. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

• Энергия Ферми
• Идеальный газ
• Квантовый газ
• Бозе-газ

• Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

• A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002
• Seiringer R. The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas / Commun. Math. Phys. — 261. — 2006. — pp. 729–758.
• Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004