Флаг (математика)

Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства ${\displaystyle L}$ (или пространства другого типа, для которого определено понятие размерности), имеющая вид

${\displaystyle L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,}$

где

${\displaystyle 0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.}$

Наиболее часто встречается понятие полного (или максимального) флага, в котором ${\displaystyle \dim L_{i}=i}$, и следовательно, число ${\displaystyle k=\dim L.}$ Обычно в определении полного флага добавляется дополнительное условие направленности каждой пары соседних подпространств в цепочке (см. определение ниже).

Понятие флага используется главным образом в алгебре и геометрии (иногда называется также фильтрацией).

Полным флагом в векторном пространстве ${\displaystyle L}$ конечной размерности ${\displaystyle n}$ называется последовательность подпространств

${\displaystyle L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,}$

где подпространство ${\displaystyle L_{0}}$ состоит лишь из нулевого вектора, подпространство ${\displaystyle L_{n}}$ совпадает со всем ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (L_{n}=L)}$, и каждая пара соседних подпространств ${\displaystyle (L_{i},L_{i-1})}$ является направленной, т.е. из двух полупространств, на которые подпространство ${\displaystyle L_{i-1}}$ разбивает ${\displaystyle L_{i}}$, выбрано одно (иначе говоря, пара этих полупространств является упорядоченной).

Каждый базис ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ векторного пространства ${\displaystyle L}$ определяет в нём некоторый полный флаг. А именно, положим ${\displaystyle L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle }$ (здесь треугольные скобки означают линейную оболочку стоящих между ними векторов), а для задания направленности пары ${\displaystyle (L_{i},L_{i-1})}$ выберем то полупространство, которое содержит вектор ${\displaystyle e_{i}}$.

Построенное таким образом соответствие между базисами и полными флагами не является взаимно однозначным: разные базисы пространства могут определять в нём один и тот же флаг (например, на рисунке справа базисы ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ и ${\displaystyle e_{1},e'_{2}}$ на плоскости определяют один и тот же полный флаг). Однако если векторное пространство ${\displaystyle L}$ является евклидовым, то, оперируя не с произвольными, а лишь с ортонормированными базисами этого пространства, мы получаем взаимно однозначное соответствие между ортонормированными базисами и полными флагами.

Следовательно, для любых двух полных флагов евклидова пространства ${\displaystyle L}$ существует единственное ортогональное преобразование ${\displaystyle A:L\to L}$, переводящее первый флаг во второй.

Аналогичным образом определяются полные флаги в аффинном пространстве и пространстве Лобачевского размерности ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,}$

где подпространство ${\displaystyle L_{0}}$ состоит лишь из одной точки (аффинного пространства или пространства Лобачевского), называемой центром флага, подпространство ${\displaystyle L_{n}}$ совпадает со всем ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (L_{n}=L)}$, и каждая пара ${\displaystyle (L_{i},L_{i-1})}$ является направленной.

Для любых двух полных флагов евклидова аффинного пространства или пространства Лобачевского существует движение этого пространства, переводящее первый флаг во второй, и такое движение единственно. Софус Ли назвал это свойство свободной подвижностью пространства. Теорема Гельмгольца—Ли утверждает, что этим свойством обладают только три типа пространств (три «великих геометрии»): Евклида, Лобачевского и Римана.^[1]

В бесконечномерном пространстве V идея флага обобщается до гнезда. А именно, набор подпространств, вполне упорядоченных по включению замкнутых подпространств, называется гнездом^[англ.].

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.