Формально вещественное поле

Формально вещественное поле — поле, в котором элемент ${\displaystyle -1}$ нельзя представить как конечную сумму квадратов.^[1][2]

Для краткости иногда формально вещественное поле называют просто вещественным полем.^[2]

Примеры вещественных полей:

• поле вещественных чисел;
• поле рациональных чисел.^[3]

Существует несколько альтернативных эквивалентных определений формально вещественных полей:

• поле, характеристика которого не равна ${\displaystyle 2}$ и в котором есть элемент, не являющийся суммой квадратов.^[4]
• поле, в котором сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда все слагаемые равны нулю.^[2]
• поле, которое можно упорядочить (эквивалентость требует аксиомы выбора, а точнее теорему об ультрафильтре).^[5]

Вещественное поле имеет характеристику ${\displaystyle 0}$.^[1] Подполе вещественного поля является вещественным полем.^[1]

Любое упорядоченное поле является вещественным. Это утверждение не требует аксиомы выбора. Обратное утверждение, что любое вещественное поле можно упорядочить, эквивалентно теореме об ультрафильтре.^[6]

Ненулевые элементы ${\displaystyle a}$ вещественного поля ${\displaystyle K}$ можно поделить на 3 типа:

• ${\displaystyle a}$ представим в виде суммы квадратов, а ${\displaystyle -a}$ нет;
• ${\displaystyle a}$ непредставим в виде суммы квадратов, а ${\displaystyle -a}$ — представим;
• и ${\displaystyle a}$, и ${\displaystyle -a}$ непредставимы в виде суммы квадратов.

Случай, когда и ${\displaystyle a}$, и ${\displaystyle -a}$ представимы в виде суммы квадратов невозможен.

Если ${\displaystyle a\neq 0}$ и ${\displaystyle a}$ является суммой квадратов, то ${\displaystyle a}$ положителен в каждом упорядочении поля. Если ${\displaystyle a\neq 0}$ и ${\displaystyle -a}$ является суммой квадратов, то ${\displaystyle a}$ отрицателен в каждом упорядочении поля. Если ни ${\displaystyle a}$, ни ${\displaystyle -a}$ не являются суммой квадратов, то (при соблюдении аксиомы выбора, а точнее теоремы об ультрафильтре) существует как упорядочение, в котором ${\displaystyle a}$ положителен, так и упорядочение, в котором ${\displaystyle -a}$ положителен.^[7] Если в вещественном поле для каждого элемента ${\displaystyle a}$ хотя бы один из элементов ${\displaystyle a}$ или ${\displaystyle -a}$ является суммой квадратов, то существует одно и только одно упорядочение этого поля (не требует аксиомы выбора).

Чисто трансцендентное расширение вещественного поля вещественно.^[8] Расширение вещественного поля корнем неприводимого многочлена нечётной степени вещественно.^[9] Расширение вещественного поля квадратным корнем элемента ${\displaystyle a}$, для которого ${\displaystyle -a}$ не является суммой квадратов, — вещественно. Расширение поля квадратным корнем ненулевого элемента ${\displaystyle a}$, для которого ${\displaystyle -a}$ является суммой квадратов, не является вещественным. Расширение упорядоченного поля некоторым множеством квадратных корней положительных элементов является вещественным.^[10]

В не вещественном поле, характеристика которого не равна ${\displaystyle 2}$, любой элемент можно представить в виде конечной суммы квадратов.^[4] В поле характеристики ${\displaystyle 2}$ могут встречаться элементы непредставимые в виде суммы квадратов, например элемент ${\displaystyle t}$ в расширении поля ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ трансцендентным элементом ${\displaystyle t}$. Конечные поля (или даже вообще любые поля ненулевой характеристики) и алебраически замкнутые поля (в частности поля комплексных чисел и алгебраических чисел) вещественными не являются.^[3]

Вещественное поле ${\displaystyle K}$ называется вещественно алгебраически замкнутым, если любое его собственное алгебраическое расширение, не является вещественным. Для краткости слово «алгебраически» зачастую опускают и говорят просто вещественно замкнутое поле.^[1]

Примеры вещественно замкнутых полей:

• поле вещественных алгебраических чисел;
• поле вещественных чисел.^[3]

В вещественно замкнутом поле для любого элемента ${\displaystyle a}$ хотя бы один из элементов ${\displaystyle a}$ или ${\displaystyle -a}$ является суммой квадратов, поэтому у него существует один и только один порядок.^[1] Так как такой порядок существует и единственен, любое вещественно замкнутое поле по умолчанию считают упорядоченным.^[11] Никакое вещественно замкнутое поле не может быть алгебраически замкнутым.^[12]

Следующие утверждения для поля ${\displaystyle K}$ являются эквивалентны тому, что поле ${\displaystyle K}$ — вещественно замкнуто:

• В поле ${\displaystyle K}$ для любого элемента ${\displaystyle a}$ хотя бы один из элементов ${\displaystyle a}$ или ${\displaystyle -a}$ имеет квадратный корень и любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень.^[11]
• Расширение поля ${\displaystyle K}$ корнем неприводимого многочлена ${\displaystyle x^{2}+1}$ является алгебраически замкнутым.^[13]

Для упорядоченного поля первое утверждение можно переписать так:

• В упорядоченном поле ${\displaystyle K}$ каждый положительный элемент имеет квадратный корень и любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень.^[14]

Это определение также эквивалентно остальным, потому что вещественно замкнутое поле всегда можно единственным способом упорядочить.

Для многочленов над вещественно замкнутым полем выполняется теорема Вейерштраса о корнях: для любого многочлена ${\displaystyle f\in K[x]}$ такого, что ${\displaystyle f(a)<0,f(b)>0}$, существует ${\displaystyle c\in [a;b]}$ такое, что ${\displaystyle f(c)=0}$.^[10]

Есть несколько эквивалентных определений вещественного замыкания поля. Поле ${\displaystyle K'}$ называется вещественным вещественным замыканием поля ${\displaystyle K}$, если выполнено одно из следующих эквивалентных определений:

• ${\displaystyle K'}$ минимальное по включению вещественно замкнутое расширение поля ${\displaystyle K}$;
• ${\displaystyle K'}$ максимальное по включению алгебраическое вещественное расширение поля ${\displaystyle K}$;
• ${\displaystyle K'}$ вещественно замкнутое алгебраическое расширение поля ${\displaystyle K}$.^[15]

Для каждого вещественного поля существует вещественное замыкание, причём только одно с точностью до изоморфизма расширений (требует аксиому выбора, а точнее теорему об ультрафильтре). Для любого упорядоченного поля его вещественное замыкание можно выбрать так, что его порядок будет продолжать порядок основного поля. Вещественное замыкание не имеет автоморфизмов расширения кроме единичного.^[16]

В любом алгебраически замкнутом расширении вещественного поля содержится его вещественное замыкание. Аналогично, в любом вещественно замкнутом расширении вещественного поля содержится его вещественное замыкание. Любое алгебраически замкнутое поле ${\displaystyle K}$ характеристики ноль может быть получено присоединением к некоторому вещественно замкнутому полю корня неприводимого многочлена ${\displaystyle x^{2}+1}$. Более того, для любого вещественного подполя ${\displaystyle K}$ можно добиться того, чтобы такое вещественно замкнутое поле содержало его в качестве подполя.

Вещественным замыканием вещественного подполя ${\displaystyle L\in K}$ в вещественном поле ${\displaystyle K}$ называется множество всех вещественных над ${\displaystyle L}$ элементов поля ${\displaystyle K}$. Вещественное замыкание подполя ${\displaystyle L}$ в вещественном поле ${\displaystyle K}$ само является подполем ${\displaystyle K}$. Вещественное замыкание подполя ${\displaystyle L}$ в вещественно замкнутом поле будет вещественным замыканием поля ${\displaystyle L}$. Множество вещественных элементов не вещественного поля над вещественным подполем не обязано быть вещественным полем.

Примеры:

• Вещественное замыкание поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ есть поле вещественных алгебраических чисел. Оно может быть получено как вещественное замыкание поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Возможно обобщение вещественности на случай произвольных колец (не обязательно ассоциативных). Кольцо ${\displaystyle R}$ называется формально вещественным, если для любого конечного набора элементов ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in R}$ выражение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=0}$

верно тогда и только тогда, когда

${\displaystyle a_{1}=\ldots =a_{n}=0}$.

Можно обобщить ещё дальше. Пусть на кольце ${\displaystyle R}$ задан автоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ такой, что ${\displaystyle \varphi \circ \varphi =\operatorname {id} }$. Кольцо ${\displaystyle R}$ называется формально комплексным, если для любого конечного набора элементов ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in R}$ выражение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\varphi (a_{i})a_{i}=0}$

верно тогда и только тогда, когда

${\displaystyle a_{1}=\ldots =a_{n}=0}$.^[17]

Формально вещественное кольцо есть частный случай формально комплексного с ${\displaystyle \varphi =\operatorname {id} }$. Простейший пример формально комплексного кольца, не являющегося формально вещественным, — поле комплексных чисел с операцией комплексного сопряжения в качестве ${\displaystyle \varphi }$.

Порядок, в котором умножаются ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle \varphi (a_{i})}$ в определении формально комплексного кольца не важен, поскольку

${\displaystyle 0=\varphi (0)=\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\varphi (a_{i})a_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\varphi (\varphi (a_{i}))\varphi (a_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (a_{i})}$.

• Б. Л. Ван дер Варден. Алгебра (рус.). — Москва: Наука, 1979. — 623 с.
• В. В. Прасолов. Семнадцатая проблема Гильберта // Математическое образование. — 1999. — Vol. 1(8). — P. 45-66.
• Formally real field (англ.). https://ncatlab.org. Дата обращения: 10 октября 2023.
• real closed field (англ.). https://ncatlab.org. Дата обращения: 1 мая 2024.
• formally real algebra (англ.). https://ncatlab.org. Дата обращения: 14 сентября 2024.
• R. Berr, F. Delon, J. Shmidt. Ordered fields and the ultrafilter theorem // Fundamenta Mathematicae. — 1999. — Vol. 159. — P. 231-241.