Форма объёма

Форма объёма — дифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть ${\displaystyle n}$-форма на ${\displaystyle n}$-мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

• Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
• На многообразии с формой объёма ${\displaystyle \omega }$, дивергенцию векторного поля ${\displaystyle X}$ можно определить с помощью следующих тождеств:

  ${\displaystyle (\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )}$

где ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ обозначает производную Ли по ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$ — внешний дифференциал, а ${\displaystyle X\;\lrcorner \;\omega }$ — операцию подстановки ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle \omega }$.

• На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие формы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.

• Симплектическое многообразие ${\displaystyle (M,\omega )}$ размерности ${\displaystyle 2{\cdot }n}$ имеет естественную форму объёма ${\displaystyle \omega ^{\wedge n}}$.

• Любое ориентированное псевдориманово (в том числе риманово) многообразие имеет естественную форму объёма, которая в локальных координатах может быть выражена как

  ${\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}$

где ${\displaystyle |g|}$ — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.