Формула Барута

Формула Барута (Намбу — Барута) — эмпирическая зависимость, выведенная для масс лептонов. Она имеет вид:

${\displaystyle m(N)=m_{e}\left(1+{\frac {3}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{N}k^{4}\right)}$,

где:

• ${\displaystyle m_{e}}$ — масса электрона,
• ${\displaystyle \alpha }$ — постоянная тонкой структуры.

Соответственно, для электрона: ${\displaystyle N=0}$, для мюона: ${\displaystyle N=1}$, для таона: ${\displaystyle N=2}$.

Иными словами, разности масс пропорциональны ${\displaystyle {\frac {3}{2\alpha }}}$:

${\displaystyle {\frac {m_{\mu }-m_{e}}{m_{e}}}={\frac {3}{2\alpha }}}$

${\displaystyle {\frac {m_{\tau }-m_{e}}{m_{e}}}={\frac {51}{2\alpha }}}$

Формула Барута восходит к работе Намбу,^[1] который в 1952 году пытался связать массы известных тогда частиц с постоянной тонкой структуры (точнее с величиной ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\approx 137}$). В 1979 году Асым Барут (тур. Asım Orhan Barut) применил идею Намбу, чтобы связать значения масс лептонов^[2].

Если использовать современные значения α=7,2973525698(24)⋅10⁻³ и m_e=0,510998910(13) МэВ, то для масс лептонов получим следующие оценки:

Частица	${\displaystyle N}$	Масса по формуле Барута	Экспериментальное значение[3]
Электрон	0	0,510998910(13) МэВ
Мюон	1	105,549 МэВ	105,658367(4) МэВ
Таон	2	1786,155 МэВ	1776,82(16) МэВ
Заряженный лептон четвёртого поколения	3	10 293,711 МэВ	>100 ГэВ

Также формула Барута может быть применена для масс кварков:^[4][5]

${\displaystyle m(N)=m_{u}\left(1+{\frac {3}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{N}k^{4}\right)}$,

где:

• ${\displaystyle m_{u}}$ — масса u-кварка.

Если принять ${\displaystyle m_{u}={\frac {m_{e}}{7{,}25}}}$^[5], то получим следующие значения:

Частица	${\displaystyle N}$	Масса по формуле Барута	Экспериментальное значение[6]
u-кварк	0	0,068 МэВ	1,8-3,0 МэВ
d-кварк	1	14,1 МэВ	4,5-5,3 МэВ
s-	2	239 МэВ	90-100 МэВ
c-кварк	3	1 378 МэВ	1 250-1 300 МэВ
b-кварк	4	4 978 МэВ	4 630-4 690 МэВ
t-кварк	5	13 766 МэВ	172 500-173 920 МэВ
Седьмой кварк	6	31 989 МэВ	>190 000 МэВ
Восьмой кварк	7	МэВ	>700 000 МэВ

Очевидно, что формула Барута даёт хорошее согласие с опытными данными, за исключением оценки массы гипотетического лептона четвёртого поколения, поскольку эксперименты исключают существование четвёртого заряженного лептона с массой менее 100 ГэВ.

Однако следует отметить, что в отличие от формулы Коидэ, которая даёт потрясающие согласие с экспериментальными данными, формула Барута — Намбу имеет довольно приближённое согласие с опытом.