Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа

Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для $Z$ из следующего равенства

e^{X}e^{Y}=e^{Z}

здесь $X$ , $Y$ и $Z$ — элементы алгебры Ли близкие к нулю. Выражение на $Z$ является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от $X$ , $Y$ .

Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли. Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике.

Формула

Существует несколько вариантов для записи $Z$ . Если представить $Z$ в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:

{\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)=\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)-\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]-\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)+\\&{}\quad +\cdots \end{aligned}}

где " $\cdots$ " содержит слагаемые более высоких порядков.

Наиболее общее выражение для $Z$ дается формулой Дынкина ^[1]:

Z

\log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},

здесь суммирование проводится по всем неотрицательным значениям $s_{i}$ и $r_{i}$ , и приняты следующие обозначения:

[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]].

Примечания

↑ N. Jacobson. Enveloping Algebras of Semi-Simple Lie Algebras // Nathan Jacobson Collected Mathematical Papers. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1989. — С. 77–86. — ISBN 9781461282150, 9781461236948.

Похожие исследовательские статьи

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\text{[math]}$ комплексного переменного $\text{[math]}$ , при $\text{[math]}$ , определяемая с помощью ряда Дирихле:

\text{[math]}

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Экспоне́нта — показательная функция $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — число Эйлера.

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

\text{[math]}

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Моме́нт ине́рции — тензорная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле. Момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества, которое, формально, может представлять собой не обязательно ось вращения, но и точку или плоскость. В последних случаях говорят о моменте инерции относительно точки или плоскости, а возникать такие величины могут в формальных вычислениях, например, при расчете тензора инерции.

Алгори́тм Шо́ра — квантовый алгоритм факторизации, позволяющий разложить число $\text{[math]}$ за время $\text{[math]}$ , используя $\text{[math]}$ логических кубитов.

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Рекуррентная формула — формула вида $\text{[math]}$ , выражающая каждый член последовательности $\text{[math]}$ через $\text{[math]}$ предыдущих членов и номер члена последовательности $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ -функция Ламберта определяется как обратная функция к $\text{[math]}$ , для комплексных $\text{[math]}$ . Обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Для любого комплексного $\text{[math]}$ она определяется функциональным уравнением:

\text{[math]}

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x² − y² = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x² + y² = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т. д. Также применяют названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т. д.

Теорема Евклида — основной элемент теории чисел. Она утверждает, что для любого конечного списка простых чисел найдётся простое число, не вошедшее в этот список.

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.

Ряд обратных простых чисел расходится. То есть:

\text{[math]}

Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.

Параметризация Фейнмана — это метод оценки интегралов по замкнутым контурам, возникающих из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими циклами. Однако иногда это полезно при интегрировании в области чистой математики.

Симметрии в квантовой механике — преобразования пространства-времени и частиц, которые оставляют неизменными уравнения квантовой механики. Рассматриваются во многих разделах квантовой механики, которые включают релятивистскую квантовую механику, квантовую теорию поля, стандартную модель и физику конденсированного состояния. В целом, симметрия в физике, законы инвариантности и сохранения являются основополагающими ограничениями для формулирования физических теорий и моделей. На практике это мощные методы решения задач и прогнозирования того, что может случиться. Хотя законы сохранения не всегда дают конечное решение проблемы, но они формируют правильные ограничения и наметки к решению множества задач.

Информационная метрика Фишера в информационной геометрии — это особая риманова метрика, которая может быть определена на гладком статистическом многообразии, то есть на гладком многообразии, точки которого являются вероятностными мерами из общего вероятностного пространства. Ее можно использовать для расчета информационной разницы между измерениями.

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции $\text{[math]}$ , заданной выражением $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

Теорема о свёртке гласит, что при подходящих условиях преобразование Фурье свёртки двух функций является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем случае свёртка в одной области равна точечному умножению в другой области. Другие версии теоремы о свёртке применимы к различным преобразованиям Фурье.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.