Формула Бернулли

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события определённое количество раз при любом числе независимых испытаний. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Формулировка

Теорема. Если вероятность наступления некоторого события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что данное событие наступит ровно раз в независимых испытаниях, равна , где .[1]

Доказательство

Пусть проводится независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие наступает с вероятностью и, следовательно, не наступает с вероятностью . Пусть также в ходе испытаний вероятности и остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате независимых испытаний событие наступит ровно раз?

Оказывается можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие наступает раз в независимых испытаниях, — в точности это количество сочетаний из по :

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие либо наступает, либо нет), то вероятность получения «удачной» комбинации в точности равна .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, нужно сложить вероятности получения всех «удачных» комбинаций. Вероятности получения всех «удачных» комбинаций одинаковы и равны , количество «удачных» комбинаций равно , поэтому окончательно получаем:

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно также заметить, что в силу полноты группы событий будет справедливо

См. также

Примечания

  1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров. — 12-е изд. — М.: Юрайт, 2013. — 478 с. — ISBN 9785991626477, 5991626472.

Ссылки