Формула Вика

Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Вика — формула теории вероятностей, выражающая математическое ожидание многочлена от координат гауссовского вектора через элементы матрицы ковариаций. Одним из её применений является связь между средним значением полинома от следов степеней случайной матрицы большого размера и родами поверхностей, получаемыми склейкой заданных многоугольников при различных отождествлениях сторон.^[1]

Формулировка

Теорема.

Пусть $(x_{1},\dots ,x_{k})$ — гауссов вектор с нулевым математическим ожиданием, $f_{1},\dots ,f_{2n}$ — линейные функции от $x_{1},\dots ,x_{k}$ . Тогда

E(f_{1}\cdot \dots \cdot f_{2n})=\sum \left(E(f_{p_{1}}f_{q_{1}})\right)\cdot \dots \cdot \left(E(f_{p_{n}}f_{q_{n}})\right),

где суммирование в правой части ведётся по всем разбиениям множества $\{1,\dots ,2n\}$ на пары $(p_{i},q_{i})$ с

p_{1}<\dots <p_{n},\quad \forall i\quad p_{i}<q_{i}

(тем самым, каждое разбиение оказывается посчитано ровно один раз).^[2]

Примеры

В качестве пояснения формулировки теоремы приведём несколько примеров:

$E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4})=E(x_{1}\cdot x_{2})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_{2}\cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{4})\cdot E(x_{2}\cdot x_{3})$ $E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})=E(x_{1}\cdot x_{2})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_{2}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{4})\cdot E(x_{3}\cdot x_{2}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{5})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{2}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{6})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{2})$

См. также

Теорема Вика для функционального интеграла

Ссылки

↑ A. Okounkov, Random Matrices and Random Permutations Архивная копия от 17 февраля 2022 на Wayback Machine, с. 10
↑ S. K. Lando, A. K. Zvonkin, Embedded graphs, записки курса Архивная копия от 18 сентября 2011 на Wayback Machine, Theorem 3.3.8.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Вычитание</span>

Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций двух аргументов, результатом которой является новое число (разность), получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»: $\text{[math]}$ . Вычитание — операция обратная сложению.

Кватернио́ны — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом $\text{[math]}$ . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Биномиа́льный коэффицие́нт — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона $\text{[math]}$ по степеням $\text{[math]}$ . Коэффициент при $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ и читается «биномиальный коэффициент из $\text{[math]}$ по $\text{[math]}$ » :

\text{[math]}

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями. Результат умножения называется их произведением.

Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном сигнале.

<span class="mw-page-title-main">Деление (математика)</span> действие, обратное умножению

Деле́ние — действие, обратное умножению. Деление обозначается двоеточием $\text{[math]}$ , обелюсом $\text{[math]}$ , косой чертой $\text{[math]}$ или записывается в виде дроби.

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке $\text{[math]}$ в пространстве $\text{[math]}$ . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $\text{[math]}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами перемножаемых пространств.

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой $\text{[math]}$ , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

\text{[math]}

\text{[math]}

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

$\text{[math]}$ -метод Уильямса — метод факторизации чисел $\text{[math]}$ с помощью последовательностей чисел Люка, разработанный Хью Уильямсом в 1982 году. Алгоритм находит простой делитель $\text{[math]}$ числа $\text{[math]}$ . Аналогичен $\text{[math]}$ -методу Полларда, но использует разложение на множители числа $\text{[math]}$ . Имеет хорошие показатели производительности только в случае, когда $\text{[math]}$ легко факторизуется. Как правило, на практике реализуется не часто из-за невысокого процента подобных случаев.

Схема Карнина — Грина — Хеллмана — пороговая схема разделения секрета на основе скалярного произведения. Авторы — Эхуд Карнин, Йонатан Грин и Мартин Хеллман.

Алгоритм Берлекэмпа — алгоритм, предназначенный для факторизации унитарных многочленов над конечным полем. Разработан Элвином Берлекэмпом в 1967 году. Может использоваться также для проверки неприводимости многочленов над конечными полями. Основная идея алгоритма заключается в возможности представления исходного многочлена в виде произведения наибольших общих делителей самого многочлена и некоторых многочленов, которые с точностью до свободного члена являются $\text{[math]}$ -разлагающими.

Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения трёх матриц $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, $\text{[math]}$ — матрица, обратная матрице $\text{[math]}$ .

В теории чисел факторизация методом непрерывных дробей (CFRAC) — это алгоритм разложения целых чисел на простые множители. Это алгоритм общего вида, пригодный для факторизации произвольного целого $\text{[math]}$ .

Норма матрицы — норма в линейном пространстве матриц, как правило некоторым образом связанная с соответствующей векторной нормой.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.