Формула Карно

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Фо́рмула Карно́ — теорема геометрии треугольника, которая связывает сумму расстояний от центра описанной окружности труегольника до 3 его сторон и радиусы его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь Лазара Карно (1753—1823).

Формулировка

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC.

Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.

В частности

при правильном выборе знаков[1]:p.83.

Другие формулировки

Формула Карно[2]:

где  — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), а  — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

Если известны стороны треугольника , то формула Карно принимает вид:

Замечания

  • В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея.
  • Формулу Карно часто называют теоремой Карно[3].

Следствия

  • Японская теорема о вписанном многоугольнике:[3] Если вписанный -угольник разрезать на треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
    • Более того, выпуклый -угольник является вписанным, если это условие соблюдается.

Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.

Примечания

  1. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
  3. 1 2 Хонсбергер, 1990.

См. также

Литература

Ссылки