Формула Крофтона

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Формула Крофтона — классический результат интегральной геометрии. Связывает длину кривой со средним числом пересечений с прямыми.

Названа в честь Моргана Крофтона.

Формулировка

Пусть  — спрямляемая плоская кривая. Для прямой , обозначим через число точек, в которых и пересекаются. Мы можем параметризовать ориентированные прямые углом к выбранному направлению и расстоянием от начала координат, взятым со знаком. Тогда длина кривой равна

Замечания

инвариантна относительно движений плоскости. Таким образом, она даёт естественную меру для интегрирования.
  • Формула Крофтона эквивалентна следующему утверждению: Длина кривой прямо пропорциональна средней длине её ортогональных проекций. При этом длина проекции считается с учётом кратности.

Приложения

Формула Крофтона даёт доказательства следующих результатов:

Вариации и обобщения

  • Формула Крофтона обобщается для любой римановой поверхности; при этом для интегрирования используется естественная мера на пространстве геодезических фиксированной длины.
    • Например, длина кривой на единичной сфере равна , где обозначает среднее число пересечений кривой с окружностями большого круга.

Литература

  • Tabachnikov, Serge[англ.]. Geometry and Billiards (англ.). — AMS, 2005. — P. 36—40. — ISBN 0-8218-3919-5.
  • Santalo, L. A. Introduction to Integral Geometry (англ.). — 1953. — P. 12—13, 54.
  • Лекция 19 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.