Формула Лоренца — Лоренца

Фо́рмула Ло́ренца — Ло́ренца связывает показатель преломления вещества с электронной поляризуемостью частиц (атомов, ионов, молекул), из которых оно состоит. Формулу получили датский физик Людвиг В. Лоренц (дат. Ludvig Valentin Lorenz ) и голландский физик Хендрик А. Лоренц (нидерл. Hendrik Antoon Lorentz) в 1880 году независимо друг от друга^[1][2].

Если вещество состоит из частиц одного сорта, то формула имеет вид^[3]:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi }{3}}N\alpha ,}$

где ${\displaystyle n}$ — показатель преломления, ${\displaystyle N}$ — количество частиц в единице объёма, а ${\displaystyle \alpha }$ — их поляризуемость.

Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент ${\displaystyle \alpha }$, связывающий напряжённость электрического поля ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$, действующего на частицу, с дипольным моментом ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$, образующимся у частицы под действием этого поля^[4]:

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\alpha {\boldsymbol {E}}.}$

Здесь и далее жирным шрифтом выделяются векторные величины.

Формулу записывают также в виде:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}={\frac {4\pi }{3}}N_{\mathrm {A} }\alpha ,}$

где ${\displaystyle M}$ — молекулярная масса вещества, ${\displaystyle \rho }$ — его плотность, а ${\displaystyle N_{\mathrm {A} }}$ — постоянная Авогадро. При этом величину ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}N_{\mathrm {A} }\alpha }$ называют молекулярной рефракцией.

Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и объёмными концентрациями ${\displaystyle N_{i}}$, то формула принимает вид:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi }{3}}\left[N_{1}\alpha _{1}+N_{2}\alpha _{2}+\cdots +N_{n}\alpha _{n}\right].}$

Вывод формулы основан на рассмотрении микроскопического поля и его взаимодействия с атомами, молекулами и ионами вещества. При выводе предполагается, что среда является изотропной, а составляющие её частицы собственным дипольным моментом не обладают^[5].

Воздействие внешнего электромагнитного поля с относительно высокими частотами, соответствующими видимому и УФ-диапазону спектра, приводит к смещению только электронных оболочек относительно атомных ядер, в то время как более массивные частицы (атомы и ионы) за период колебаний поля сместиться с занимаемых ими мест не успевают. Соответственно, в поляризацию среды вносит вклад только электронная поляризация, и показатель преломления оказывается связан с электронной поляризуемостью частиц формулой Лоренца — Лоренца.

При более низких частотах колебаний поля атомы и ионы успевают смещаться под действием поля, и поэтому вносят свой вклад в общую поляризацию. В результате становится необходимым, помимо электронной поляризуемости, учитывать атомную и ионную поляризуемости. Аналогом формулы Лоренца — Лоренца для постоянных полей является формула Клаузиуса — Моссотти^[6], описывающая связь диэлектрической проницаемости вещества с поляризуемостями составляющих его частиц:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}={\frac {4\pi }{3}}N_{\mathrm {A} }\alpha .}$

В полярных диэлектриках частицы среды обладают собственным дипольным моментом, то есть таким, который они имеют и в отсутствие внешнего электрического поля. Непосредственное применение формулы Лоренца — Лоренца в её обычном виде в таких случаях невозможно. Дальнейшим развитием формулы Лоренца — Лоренца, пригодным в том числе и для случая полярных диэлектриков (но для относительно низких частот колебаний поля), стала формула формула Ланжевена — Дебая^[7].

Формула Лоренца — Лоренца лежит в основе структурной рефрактометрии. Она широко используется при изучении и контроле составов различных веществ, для исследования их строения и превращений, происходящих в результате протекания химических реакций^[8][9].

Формула Лоренца — Лоренца является одним из оснований теории дисперсии света в классическом приближении^[5][10]. В этой теории оптические электроны рассматриваются как дипольные осцилляторы, характеризуемые собственной частотой ${\displaystyle \omega _{0}}$. В случае, когда затуханием колебаний электронов можно пренебречь^[11], уравнение колебаний имеет вид:

${\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}+\omega _{0}^{2}{\boldsymbol {r}}={\frac {e}{m}}{\boldsymbol {E}}(t),}$

где ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ — смещение электрона из положения равновесия, ${\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}}$ — вторая производная ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ по времени (ускорение электрона), ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle m}$ — заряд и масса электрона соответственно, а ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}(t)}$ — напряжённость электрического поля.

В результате решения уравнения для монохроматического поля, изменяющегося с частотой ${\displaystyle \omega }$, сначала получается зависимость ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$, а затем и поляризуемость ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}.}$

После подстановки полученного выражения в формулу Лоренца — Лоренца возникает дисперсионная формула вида:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi Ne^{2}}{3m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}.}$

Обычно свой вклад в формирование показателя преломления вносят несколько линий поглощения с частотами ${\displaystyle \omega _{0i}}$. В таком случае дисперсионная формула принимает вид:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi Ne^{2}}{3m}}\sum _{i}{\frac {f_{i}}{\omega _{0i}^{2}-\omega ^{2}}},}$

где ${\displaystyle f_{i}}$ — безразмерные коэффициенты (силы осцилляторов), показывающие эффективность участия соответствующих осцилляторов в явлениях дисперсии и удовлетворяющие правилу ${\displaystyle \sum _{i}f_{i}=1}$.

Хендрик А. Лоренц

Людвиг В. Лоренц

Статьи Людвига В. Лоренца^[12] и Хендрика А. Лоренца^[13] с сообщениями о получении формулы были опубликованы практически одновременно в 1880 году. М. Борн и Э. Вольф такое одновременное получение результата учёными с почти одинаковыми (в оригинальном написании) фамилиями называют «удивительным совпадением»^[5].

Сам Хендрик Лоренц в своей книге писал так: «…этот результат был найден Лоренцом в Копенгагене за несколько времени до того, как я вывел его из электромагнитной теории света, что, конечно, является любопытным случаем совпадения»^[14].

Хотя Хендрик А. Лоренц не был тем, кто первым вывел формулу, и на эту роль не претендовал, в её наименовании, обычно употребляемом в англоязычной литературе, его имя стоит в начале: «Lorentz — Lorenz equation», «Lorentz — Lorenz formula» или «Lorentz — Lorenz relation».

Ранее, до того, как в русской научно-технической литературе сложилась общепринятая традиция, использовались различные варианты наименования формулы, включая такие, как формула «Лоренц — Лоренца», «Лоренц — Лорентца», «Лорентц — Лоренца» и «Лорентца — Лоренца».

В своё время значение формулы Лоренца — Лоренца не исчерпывалось только тем, что она дала возможность количественного описания формирования значения показателя преломления веществ. Как писали М. Борн и Э. Вольф, «…она служит мостом, связывающим феноменологическую теорию Максвелла с теорией атомного строения вещества»^[5].

Несмотря на солидный «возраст», формулу Лоренца — Лоренца в настоящее время не только достаточно широко применяют, но и продолжают развивать, расширяя возможности её использования^[15].

• Формула Клаузиуса — Моссотти