Формула Римана — фон Мангольдта

Формула Римана — фон Мангольдта — выражение, описывающее распределение нулей дзета-функции Римана; число нулей дзета-функции с мнимой частью большей 0 и не превосходящей заданное число $T$ удовлетворяет следующему соотношению^[1]:

N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log {T})

Впервые дана Риманом в работе «О числе простых чисел, не превышающих данной величины»^[англ.] (1859), окончательно доказана Мангольдтом в 1905 году.

В 1918 году финский математик Йозеф Беклунд (Ralf Josef Bäcklund; 1888—1949) вывел явную оценку ошибки для всех $T>2$ :

\left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0{,}137\log T+0{,}443\log \log T+4{,}350

Примечания

↑ Вайсстайн.

Литература

Edwards H. M.^[англ.]. Riemann’s zeta function. — New York — London: Academic Press, 1974. — Т. 58. — (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 0-12-232750-0.
Ivić Aleksandar. The theory of Hardy's Z-function. — Cambridge: Cambridge University Press, 2013. — Т. 196. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-1-107-02883-8.
Patterson S. J. An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. — Cambridge: Cambridge University Press, 1988. — Т. 14. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-33535-3.
Weisstein Eric W. Riemann-von Mangoldt Formula (англ.). MathWorld.

Похожие исследовательские статьи

Гипо́теза Ри́мана — сформулированная немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году математическая гипотеза о том, что дзета-функция Ри́мана $\text{[math]}$ принимает нулевые значения только в отрицательных чётных числах: $\text{[math]}$ , и комплексных числах с вещественной частью $\text{[math]}$ . Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\text{[math]}$ комплексного переменного $\text{[math]}$ , при $\text{[math]}$ , определяемая с помощью ряда Дирихле:

\text{[math]}

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

АТС теорема — теорема об аппроксимации тригонометрической суммы более короткой.

Метод БВЕ — метод быстрого суммирования специального вида рядов. Построен в 1990 году Е. А. Карацубой. Позволяет вычислять быстро зигелевские E-функции, и в частности, $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Гармоническое число</span>

В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

\text{[math]}

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел $\text{[math]}$ растёт с увеличением $\text{[math]}$ как $\text{[math]}$ , то есть:

\text{[math]}

, когда

\text{[math]}

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле, а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана.

В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

\text{[math]}

Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел $\text{[math]}$ формулой:

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Функция распределения простых чисел</span>

В математике функция распределения простых чисел, или пи-функция $\text{[math]}$ , — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x. Она обозначается $\text{[math]}$ .

Постоя́нная Глейшера — Кинкелина в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана $\text{[math]}$ ,

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Суммирующая функция делителей</span>

Суммирующая функция делителей в теории чисел — функция, являющаяся суммой функции делителей. Функция часто используется для исследования асимптотического поведения дзета-функции Римана. Различные исследования асимптотического поведения функции делителей иногда называют проблемами делителей.

Проблема круга Гаусса — задача определения количества точек целочисленной решётки, попадающих в круг радиуса r с центром в начале координат. Первый успех в решении этой задачи был сделан Гауссом, в честь него и названа проблема.

Гипотеза Римана является одной из наиболее важных гипотез в математике. Гипотеза является утверждением о нулях дзета-функции Римана. Различные геометрические и арифметические объекты могут быть описаны так называемыми глобальными L-функциями, которые формально похожи на дзета-функцию Римана. Можно тогда задать тот же вопрос о корнях этих L-функций, что даёт различные обобщения гипотезы Римана. Многие математики верят в верность этих обобщений гипотезы Римана. Единственный случай, когда такая гипотеза была доказана, произошёл в алгебраическом поле функций.

Константа де Брёйна — Ньюмана — математическая константа, обозначаемая Λ. Названа в честь Николаса Говерта де Брёйна и Чарльза М. Ньюмана.

Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0:

\text{[math]}

Па́рная корреляцио́нная гипо́теза Монтго́мери — гипотеза американского математика Хью Монтгомери (1973) о том, что парная корреляция между парами нулей дзета-функции Римана есть:

\text{[math]}

Гипо́теза Ги́льберта — По́йи — математическая гипотеза, дающая один из существующих подходов к решению гипотезы Римана при помощи спектральной теории. Сформулирована венгерским математиком Дьёрдем Пойей и, по рассказу Эрнста Хеллингера, немецким математиком Давидом Гильбертом.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.