Формула Фаульхабера

Формула Фаульхабера — выражение для суммы $p$ -х степеней первых $n$ натуральных чисел:

\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}

как многочлена $(p+1)$ -й степени с коэффициентами, содержащими числа Бернулли:

\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}

Названа в честь математика XVII века Иоганна Фаульхабера; также известна как формула Бернулли.

Формулы для первых шести степеней:

1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}

(треугольные числа)

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}

(квадратные пирамидальные числа)

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}}

(квадраты треугольных чисел)

{\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\\&={\frac {6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}&={\frac {[n(n+1)]^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}\\&={\frac {2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2}}{12}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}&={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}\\&={\frac {6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n}{42}}\end{aligned}}

Ссылки

Jacobi, Carl (1834). "De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae". Journal für die reine und angewandte Mathematik. Vol. 12. pp. 263—72.
Weisstein, Eric W. Faulhaber's formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Johann Faulhaber. Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden. — 1631. A very rare book, but Knuth has placed a photocopy in the Stanford library, call number QA154.8 F3 1631a f MATH. (online copy в «Книгах Google»)
Beardon, A. F. (1996). "Sums of Powers of Integers" (PDF). American Mathematical Monthly. 103 (3): 201—213. doi:10.1080/00029890.1996.12004725. Дата обращения: 23 октября 2011. (Winner of a Lester R. Ford Award)
Schumacher, Raphael (2016). "An Extended Version of Faulhaber's Formula" (PDF). Journal of Integer Sequences. Vol. 19.s
Orosi, Greg (2018). "A Simple Derivation Of Faulhaber's Formula" (PDF). Applied Mathematics E-Notes. Vol. 18. pp. 124—126.

Похожие исследовательские статьи

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\text{[math]}$ комплексного переменного $\text{[math]}$ , при $\text{[math]}$ , определяемая с помощью ряда Дирихле:

\text{[math]}

В математике формула Стирлинга — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы.

Биномиа́льный коэффицие́нт — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона $\text{[math]}$ по степеням $\text{[math]}$ . Коэффициент при $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ и читается «биномиальный коэффициент из $\text{[math]}$ по $\text{[math]}$ » :

\text{[math]}

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — это аналитическая функция $\text{[math]}$ , задающая единственный действительный корень многочлена $\text{[math]}$ . Иначе говоря, для любого $\text{[math]}$ верно, что

\text{[math]}

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

\text{[math]}

Тождество Капелли — аналог матричного соотношения $\text{[math]}$ для дифференциальных операторов с некоммутирующими элементами, связанных с представлением алгебры Ли $\text{[math]}$ . Используется для соотнесения инварианта $\text{[math]}$ с инвариантом $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — это $\text{[math]}$ -процесс Кэли. Названо по имени Альфредо Капелли, установившего этот результат в 1887 году.

Фо́рмула Ва́ллиса — формула, выражающая число $\text{[math]}$ через бесконечное произведение рациональных дробей:

\text{[math]}

Телескопический ряд в математике — бесконечный ряд, чья сумма может быть легко получена, исходя из того, что при раскрытии скобок почти все слагаемые взаимно уничтожаются. Название дано по аналогии с трубой телескопа, который может уменьшить свою длину, сложившись несколько раз.

Знакочередующийся ряд натуральных чисел — знакочередующийся ряд, слагаемые которого по модулю представляют собой последовательные натуральные числа и имеют чередующийся знак: 1 − 2 + 3 − 4 + …. Частичная сумма с номером m этого ряда описывается выражением:

\text{[math]}

Гауссова кривизна — мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки. Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, то есть она не изменяется при изометрических изгибаниях.

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x² − y² = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x² + y² = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т. д. Также применяют названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т. д.

В математике тождества Ньютона, также известные как формулы Ньютона — Жирара, задают соотношения между двумя типами симметрических многочленов, а именно между элементарными симметрическими многочленами и степенными суммами Ньютона. Для произвольного многочлена P они дают возможность выразить сумму k-х степеней всех корней P через коэффициенты P, без фактического нахождения корней. Эти тождества были открыты Исааком Ньютоном около 1666 года, и возможно, в ранних работах (1629) Альберта Жирара. Они находят применение во многих областях математики, в том числе в теории Галуа, теории инвариантов, теории групп, комбинаторике, а также в других науках, в том числе в общей теории относительности.

Теорема Евклида — основной элемент теории чисел. Она утверждает, что для любого конечного списка простых чисел найдётся простое число, не вошедшее в этот список.

Тригонометрические функции от матрицы — обобщения тригонометрических функций для квадратных матриц.

Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления равен приблизительно

\text{[math]}

Убывающий факториал записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как

\text{[math]}

Ряд обратных простых чисел расходится. То есть:

\text{[math]}

Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.

В 1760-х Иоганн Генрих Ламберт доказал, что число π иррационально, то есть не может быть представлено дробью a/b, где a — целое число, а b — ненулевое целое число. В XIX веке Чарльз Эрмит нашел еще одно доказательство, пользуясь только базовыми средствами математического анализа. В дальнейшем Мэри Картрайт, Айвен Нивен и Никола Бурбаки смогли упростить доказательство Эрмита, а Миклош Лацкович упростил доказательство Ламберта.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.