Формула Эйлера
Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:
- ,
где — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: ,
История
Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году[1] и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора[2]. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид[3]:
- .
Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748)[4], построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя.
Производные формулы
При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:
- ,
- .
Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть , тогда:
- ,
- .
Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:
является частным случаем формулы Эйлера при .
Применение в теории чисел
В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида , где — некоторое множество рассматриваемых объектов, а — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.
Для теории чисел, изучающей целые числа, имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа .
Применение в комплексном анализе
Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: .
Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: , . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа в степень его расстояние до центра возводится в степень , а угол поворота относительно оси увеличивается в раз.
Формула возведения в степень верна не только для целых , но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.
Взаимосвязь с тригонометрией
Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:
Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:
с последующим решением относительно синуса или косинуса.
Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:
Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:
Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:
Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).
Доказательство
Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням . Получим:
Но
Поэтому , что и требовалось доказать.
Наглядная демонстрация
Известно, что . Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел равен точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется . Это, в частности, связано с тем, что .
- n=1
- n=2
- n=3
- n=4
- n=5
- n=6
- n=8
- n=16
Процесс изменения при изменении можно также наглядно продемонстрировать через производную. Общеизвестно, что и . Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию , получим . Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, для которого известен физический смысл.
Показательная форма комплексного числа
Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.
Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .
Примечания
- ↑ Cotes R. Logometria (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. — 1714-1716. — Vol. 29. — P. 32. — doi:10.1098/rstl.1714.0002. Архивировано 6 июля 2017 года.
- ↑ Cotes R. Harmonia mensurarum (неопр.). — 1722. — С. 28. Архивировано 7 июня 2020 года.
- ↑ González-Velasco Enrique A. Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History (англ.). — 2011. — P. 182. Архивировано 19 октября 2014 года.
- ↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (неопр.). — 1748. — Т. 1. — С. 104.
Литература
- Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Архивная копия от 25 сентября 2020 на Wayback Machine
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
- Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 530 с. Архивная копия от 7 июня 2015 на Wayback Machine