Формула коплощади

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Формула коплощади — интегральная формула, связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения. Принцип Кавальери является частным случаем формулы коплощади.

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция, заданная на открытой области . Также она верна для липшицевых и соболевских функций[1].

Формулировка

Пусть есть область в и — липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

где обозначает внешнее произведение копий дифференциала , а  — -мерная хаусдорфова мера.

Частные случаи

  • Для вещественнозначной функции , формула коплощади имеет вид
где  — градиент .
  • В случае , мера Хаусдорфа есть считающая мера, а есть якобиан в . Поэтому формулу можно переписать следующим образом
Данная формула также называется формулой площади.

Литература

  1. Federer, H (1959), "Curvature measures", Transactions of the American Mathematical Society, 93 (3), Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 93, No. 3: 418—491, doi:10.2307/1993504, JSTOR 1993504.
  • Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.