Формула монотонности

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.

Формулировка

Предположим есть -мерная минимальная поверхность в евклидовом пространстве и . Обозначим через минимальное расстояние от до границы .

Тогда функция

монотонно возрастает в интервале ; здесь обозначает -мерную площадь и — шар радиуса с центром в .

Следствия

  • Для , и как в формулировке выполняется неравенство
при ; здесь обозначает объём единичного шара в -мерном евклидовом пространстве.
  • Более того, если является точкой самопересечения то
при .

Применения

  • Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной.
  • Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.

Литература