Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.
Формула
Пусть — последовательность действительных или комплексных чисел и — непрерывно дифференцируемая на луче функция. Тогда
где
Представим обе части равенства как функции от . Во-первых, заметим, что при равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом левая часть имеет скачок , такой же скачок имеет функция , а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех .
Если частичные суммы ряда ограничены, а , то предельным переходом можно получить следующее равенство
В общем случае,
Примеры
Для и легко видеть, что тогда
перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера — Маскерони:
- , где — дробная часть числа .
Для и аналогично тогда
Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.