Французская железнодорожная метрика

Французская железнодорожная метрика является необычным примером метрики.

Название этой метрики произошло из-за очень централизованно проложенной (особенно раньше) железнодорожной сети Франции, в которой чуть ли не все пути сходились в Париже.

Последствия этого были таковы, что, например, чтобы добраться по железной дороге из Страсбурга в Лион, нужно сделать крюк в 400 км через Париж — приходилось мириться с тем, что нет прямого сообщения.

Это побудило одного неизвестного математика определить следующую метрику: если ${\displaystyle X}$ есть некоторое множество точек плоскости (города Франции с железнодорожным сообщением через Париж) и ${\displaystyle p}$ — фиксированная выбранная точка (Париж), то можно определить на ${\displaystyle X}$ метрику ${\displaystyle \rho \colon X\times X\to \mathbb {R} }$ следующим образом:

${\displaystyle \rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|x-y\|,&x-p=\lambda (y-p)\\\|x-p\|+\|y-p\|,&x-p\neq \lambda (y-p)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .}$

Здесь ${\displaystyle \rho (x,y)}$ следует понимать как расстояние по железнодорожному пути от города ${\displaystyle x}$ до города ${\displaystyle y}$.

Эта конструкция допускает элементарное обобщение на любое нормированное пространство.

В невырожденном случае, то есть когда существуют неколлинеарные векторы, французская железнодорожная метрика — простейший пример метрики, которая не порождается нормой.

Действительно, предположим противное. Пусть такая норма существует. Возьмём два неколлинеарных вектора ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, для которых ${\displaystyle \left|a\right|\leqslant \left|b\right|}$. Тогда векторы ${\displaystyle a+b}$ и ${\displaystyle b}$ также неколлинеарны, и выполняется

${\displaystyle \rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)}$.

Для метрики ${\displaystyle d}$, порожденной нормой, это неравенство нарушается:

${\displaystyle d(p+a,p)=|p+a-p|=|a|\leq d(p,p+b)=|p-p-b|=|-b|=|b|<d(p+a+b,p+b)=|p+a+b-p-b|=|a|.}$

Следовательно, не существует нормы ${\displaystyle |\cdot |}$, порождающей французскую железнодорожную метрику в том смысле, что ${\displaystyle \rho (x,\,y)=|x-y|.}$

Для нормы ${\displaystyle \|\cdot \|}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ метрикой французского метро называется метрика на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, определённая как^[1][2]:

${\displaystyle \rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|x-y\|,&x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,&x\neq \lambda y\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .}$

Иными словами, метрика французского метро определена как длина кратчайшего пути из точки x в точку y, если x, y и начало координат находятся на одной прямой, и длина кратчайшего пути из x в y, проходящего через начало координат, в противном случае.

Метрика французского метро совпадает с французской железнодорожной метрикой в частном случае, когда Париж находится в начале координат (p = 0).

Для евклидовой нормы ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ метрика французского метро называется также парижской метрикой, метрикой ежа, радиальной метрикой или усиленной метрикой SNCF^[1][2][3].

Для нормы ${\displaystyle \|\cdot \|}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (в общем случае на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) метрикой британской железной дороги называется метрика на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), определённая как

${\displaystyle \|x\|+\|y\|,}$

если ${\displaystyle x\neq y}$, и как 0 в противном случае. Её называют также метрикой почты (англ. Post Office metric), метрикой гусеницы и метрикой челнока^[1][2].

Иными словами, в соответствии с метрикой британской железной дороги приходится делать крюк через начало координат всегда, если только пункт отправления не совпадает с пунктом назначения.

В Великобритании метрикой британской железной дороги (англ. British Rail metric) иногда называют метрику французского метро^[4].

p	x	y	ФЖДМ[5]	МФМ[6]	МБЖД[7]
${\displaystyle (0;0)}$	${\displaystyle (0;3)}$	${\displaystyle (6;5)}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$
	${\displaystyle (0;3)}$	${\displaystyle (0;6)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 9}$
${\displaystyle (-3;2)}$	${\displaystyle (0;3)}$	${\displaystyle (0;6)}$	${\displaystyle {\sqrt {10}}+5}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\sqrt {45}}}$
	${\displaystyle (0;3)}$	${\displaystyle (6;5)}$	${\displaystyle {\sqrt {40}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$
	${\displaystyle (5;12)}$	${\displaystyle (12;5)}$	${\displaystyle {\sqrt {164}}+{\sqrt {234}}}$	${\displaystyle 26}$	${\displaystyle 26}$
	${\displaystyle (5;12)}$	${\displaystyle (5;12)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

• Расстояние городских кварталов
• Расстояние Чебышёва