Фредгольмов оператор

Фредгольмов оператор, или нётеров оператор, — это линейный оператор между векторными пространствами (обычно бесконечной размерности), у которого ядро и коядро конечномерны. Иначе говоря, пусть X, Y — векторные пространства. Оператор ${\displaystyle T:X\to Y}$ называют фредгольмовым, если

• ${\displaystyle \mathrm {dim} \,\ker T<\infty }$,
• ${\displaystyle \mathrm {dim} \;\mathrm {coker} \,T<\infty }$.

Оператор между конечномерными пространствами всегда фредгольмов.

Обычно понятие рассматривают для банаховых пространств и оператор предполагают ограниченным.

Следует также отметить, что в силу своего определения, фредгольмов оператор всегда нормально разрешим.

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T=\mathrm {dim} \,\ker T-\mathrm {dim} \;\mathrm {coker} \,T}$

Более того, для каждого конкретно заданного ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ существует фредгольмов оператор с индексом n.

• Сопряженный к фредгольмову оператору тоже фредгольмов: ${\displaystyle T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\Leftrightarrow T^{'}\in {\mathcal {N}}(Y^{'},\;X^{'})}$. Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов: ${\displaystyle \mathrm {ind} \,T^{'}=-\mathrm {ind} \,T}$
• Композиция фредгольмовых операторов — фредгольмов оператор, а индекс его есть ${\displaystyle \mathrm {ind} \,TS=\mathrm {ind} \,T+\mathrm {ind} \,S}$ (теорема Аткинсона)
• Компактное возмущение сохраняет фредгольмовость и индекс оператора: ${\displaystyle T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;S\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)\Rightarrow T+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;\mathrm {ind} \,(T+S)=\mathrm {ind} \,T}$
• Фредгольмовость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть ${\displaystyle \forall T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\exists \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\|S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;\mathrm {ind} \,(T+S)=\mathrm {ind} \,T}$. Иначе говоря, множество ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X,\;Y)}$ является открытым в множестве ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\;Y)}$ ограниченных операторов.

${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(X,\;X)\Rightarrow (\mathrm {I_{X}} -K)}$ — фредгольмов (здесь ${\displaystyle \mathrm {I_{X}} }$ — тождественный оператор на X).

• Критерий Нётера: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор.
• Критерий Никольского: T фредгольмов тогда и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X,\;Y)=\mathrm {Inv} (X,\;Y)\,+\,{\mathcal {K}}(X,\;Y)}$, где ${\displaystyle \mathrm {Inv} (X,\;Y)}$ — множество обратимых линейных операторов.

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..