Функтор прямого образа

Функтор прямого образа — это обобщение понятия сечения пучка на относительный случай.

Пусть f: X → Y — непрерывное отображение топологических пространств, и Sh(-) обозначает категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Функтор прямого образа

${\displaystyle f_{*}:Sh(X)\to Sh(Y)}$

переводит пучок F на X в предпучок

${\displaystyle f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)),}$

который оказывается пучком на Y.

Эта операция функториальна, в том смысле, что морфизм пучков φ: F → G на X порождает морфизм пучков f_∗(φ): f_∗(F) → f_∗(G) на Y.

Если Y — это точка, то функтор прямого образа совпадает с функтором глобальных сечений.

Функтор прямого образа точен слева, но, вообще говоря, не точен справа. Следовательно, можно рассмотреть правые производные функторы функтора прямого образа. Они называются высшими прямыми образами и обозначаются R^q f_∗.

Для высших прямых образов можно дать выражение, сходное с выражением для прямых образов: для пучка F на X, R^q f_∗(F) — это пучок, ассоциированный с предпучком

${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F).}$

• Функтор прямого образа сопряжён справа к функтору обратного образа, то есть для любого непрерывного отображения ${\displaystyle f:X\to Y}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ на X, Y соответственно, существует естественный изоморфизм

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

• Если f — вложение замкнутого подпространства X ⊂ Y то f_∗ точен. Более того, в этом случае f_∗ является эквивалентностью категорий между пучками на X и пучками на Y с носителем в X. Это следует из того факта, что слой ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}}$ равен ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}}$, если ${\displaystyle y\in X}$ и равен нулю иначе (здесь используется замкнутость X в Y).

• Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.