Функции Штумпфа

Функции Штумпфа c_k(x) были введены в небесную механику немецким астрономом Карлом Штумпфом^[нем.] в его теории универсального решения для кеплеровского движения^[1][2]. Они описываются следующим разложением в ряд Тейлора:

${\displaystyle c_{k}(x)={\frac {1}{k!}}-{\frac {x}{(k+2)!}}+{\frac {x^{2}}{(k+4)!}}-\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}x^{i}}{(k+2i)!}}}$

для ${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$ Этот ряд абсолютно сходится для любых действительных x.

Близки тригонометрическим функциям. Сравнивая разложение в ряд Тейлора для c₀(x) и c₁(x) с разложением в ряд Тейлора для тригонометрических функций sin и cos, можно найти следующие соотношения:

• ${\displaystyle c_{0}(x^{2})=\cos(x)}$
• ${\displaystyle c_{1}(x^{2})={\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)}$
• ${\displaystyle c_{2}(x^{2})={\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}}$
• ${\displaystyle c_{3}(x^{2})={\frac {x-\sin(x)}{x^{3}}}}$

Аналогично, для гиперболических функций sinh и cosh мы находим:

• ${\displaystyle c_{0}(-x^{2})=\cosh(x)}$
• ${\displaystyle c_{1}(-x^{2})={\frac {\sinh(x)}{x}}}$

Для неотрицательных k, ${\displaystyle c_{k}(0)={\frac {1}{k!}}}$.

Функции Штумпфа удовлетворяют следующему рекурсивному выражению:

${\displaystyle xc_{k+2}(x)={\frac {1}{k!}}-c_{k}(x),{\text{ для }}k=0,1,2,\ldots \,.}$

Функции Штумпфа позволяют единообразно описать движение тела в центральном поле для любого значения «кеплеровской энергии» (суммы кинетической и потенциальной энергии), соответствующего движению по эллиптическим (кеплеровская энергия отрицательна), параболическим (кеплеровская энергия в точности равна нулю) и гиперболическим (кеплеровская энергия положительна) траекториям.