Функция-оригинал

Функция-оригинал — фундаментальное понятие в операционном исчислении; для того, чтобы функция ${\displaystyle f\colon {\mathbb {R} \to \mathbb {C} }}$ могла называться оригиналом, она должна удовлетворять трем условиям:

1. ${\displaystyle f}$ удовлетворяет условию Гёльдера почти всюду на вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$, притом на произвольном конечном интервале ${\displaystyle (a;b)\subset \mathbb {R} }$ множество точек, в которых указанное условие не выполняется, конечно, притом в этих точках она должна претерпевать разрыв 1-го рода. Формально, для произвольного ${\displaystyle t}$, не относящегося к упомянутому множеству, должны существовать положительные постоянные ${\displaystyle A,\,\alpha \leqslant 1,\,h_{0}}$, такие, что ${\displaystyle |f(t+h)-f(t)|\leqslant A|h|^{\alpha }}$ для произвольного ${\displaystyle h\in [-h_{0};h_{0}]}$.
2. ${\displaystyle f(t)=0}$ при ${\displaystyle t<0}$.
3. на функцию ${\displaystyle f(t)}$ накладывается определённое ограничение — она должна возрастать не быстрее показательной функции. Формально, для этой функции должны существовать постоянные ${\displaystyle M>0,\,s_{0}\geqslant 0}$ такие, что ${\displaystyle |f(t)|<Me^{s_{0}t}}$ для произвольного ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Для большинства физических задач все эти три условия соблюдены. Более того, с использованием функции Хевисайда ${\displaystyle H(t)}$ можно получить функцию-оригинал из функции, удовлетворяющей только условиям 1 и 3.