Функция Грина

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Функция Грина ${\displaystyle G(x,s)}$ линейного дифференциального оператора ${\displaystyle L=L(x)}$, действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в точке ${\displaystyle s}$, — это любое решение уравнения

${\displaystyle L~G(x,s)=\delta (x-s)}$,

где ${\displaystyle \ \delta }$ — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

${\displaystyle L~u(x)=f(x)}$,

Функция Грина — это обратный оператор к ${\displaystyle L}$, поэтому её нередко символически обозначают как ${\displaystyle L^{-1}}$.

Если ядро оператора ${\displaystyle L}$ нетривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

${\displaystyle L~G(x,s)=-\delta (x-s)}$,

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если ${\displaystyle L}$ имеет постоянные коэффициенты по отношению к ${\displaystyle x}$, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

${\displaystyle G(x,s)=G(x-s)}$.

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид ${\displaystyle Lf=\kappa h}$, функция Грина ${\displaystyle g(x,s)}$ также определяется с учётом этого коэффициента, то есть в этом случае она по определению является решением уравнения^[1]

${\displaystyle Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (x-s)}$.

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения ${\displaystyle Lf=\kappa h}$ с произвольной функцией ${\displaystyle h}$ в правой части записывается как

${\displaystyle f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}}$.

Пусть ${\displaystyle L}$ — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида:

${\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]-q(x)}$,

и пусть ${\displaystyle D}$ — оператор краевых условий:

${\displaystyle Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}}$

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывная функция на промежутке ${\displaystyle [0,\;l]}$. Предположим также, что задача

${\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}}$

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Тогда существует единственное решение ${\displaystyle u(x)}$, удовлетворяющее системе

${\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}}$,

которое задаётся выражением

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds}$,

где ${\displaystyle g(x,\;s)}$ — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

1. ${\displaystyle g(x,\;s)}$ непрерывна по ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle s}$.
2. Для ${\displaystyle x\neq s}$, ${\displaystyle Lg(x,\;s)=0}$.
3. Для ${\displaystyle s\neq 0,\;l}$, ${\displaystyle Dg(x,\;s)=0}$.
4. Скачок производной: ${\displaystyle g^{\prime }(s_{+0},\;s)-g^{\prime }(s_{-0},\;s)=1/p(s)}$.
5. Симметрична: ${\displaystyle g(x,\;s)=g(s,\;x)}$.

Если множество собственных векторов (собственных функций) ${\displaystyle \Psi _{n}}$ дифференциального оператора ${\displaystyle L\ }$

(то есть набор таких функций ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$, что для каждой найдётся число ${\displaystyle \lambda _{n}\neq 0}$, что ${\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}}$)

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов ${\displaystyle \Psi _{n}}$ и собственных значений ${\displaystyle \lambda _{n}}$.

Под полнотой системы функций ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$ подразумевается выполнение соотношения

${\displaystyle \delta (x-x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x^{\prime })}$.

Можно показать, что

${\displaystyle G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x^{\prime })}{\lambda _{n}}}}$.

Действительно, подействовав оператором ${\displaystyle L}$ на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху, ${\displaystyle {\overline {\Psi }}}$, обозначено комплексное сопряжение; если ${\displaystyle \Psi _{n}}$ — вещественные функции, его можно не делать).

Уравнение теплопроводности, уравнение Шрёдингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных:

${\displaystyle H\psi (x,\beta )=-{\frac {\partial \psi (x,\beta )}{\partial \beta }}}$

(1)

где ${\displaystyle H}$ — эрмитов оператор, ${\displaystyle x={\mathcal {f}}x_{1},x_{2},...,x_{n}{\mathcal {g}}}$ - пространственные координаты

• для уравнения теплопроводности ${\displaystyle \Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\partial T}{\partial t}}}$

${\displaystyle T}$ — температура, ${\displaystyle \beta ={\frac {k}{c}}t}$.

• для уравнения Шрёдингера ${\displaystyle H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$

${\displaystyle \psi }$ — волновая функция, ${\displaystyle \beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t}$.

• для уравнения диффузии ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$

${\displaystyle \psi }$ — концентрация вещества, ${\displaystyle \beta =\lambda t}$.

Собственные функции ${\displaystyle \varphi _{m}}$ оператора ${\displaystyle H}$ образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

${\displaystyle H\varphi _{m}=\lambda _{m}\varphi _{m}}$.

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:

${\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(\beta )\varphi _{m}(x)}$

(2)

Подставляя в уравнение (1) предполагаемую форму решения, получаем:

${\displaystyle H\psi =\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(\beta )H\varphi _{m}(x)=-\sum _{m=0}^{\infty }\varphi _{m}(x){\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )}$.

Таким образом:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }[\lambda _{m}A_{m}(\beta )+{\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{m}(\beta )]\varphi _{m}(x)=0}$.

Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:

${\displaystyle -\lambda _{m}A_{m}(\beta )={\frac {\partial A_{m}(\beta )}{\partial \beta }}}$,

откуда

${\displaystyle A_{m}(\beta )=A_{m}(0)e^{-\lambda _{m}\beta }}$.

Следовательно, решение исходного уравнения (1) можно представить в виде:

${\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}(0)e^{-\lambda _{m}\beta }\varphi _{m}(x)}$.

Считая ряд (2) равномерно сходящимся, можно найти, что:

${\displaystyle A_{m}(\beta )=\int \varphi _{m}^{*}(x)\psi (x,\beta )d\tau }$,

где ${\displaystyle d\tau =dx_{1}dx_{2}...dx_{n}}$ — элемент объёма.

Из этой формулы следует:

${\displaystyle A_{m}(0)=\int \varphi _{m}^{*}(x)\psi (x,0)d\tau }$

Итак, если задано начальное состояние, то

${\displaystyle \psi (x,\beta )=\sum _{m=0}^{\infty }\int \psi (x',0)\varphi _{m}^{*}(x')\varphi _{m}(x)e^{-\lambda _{m}\beta }d\tau '}$

Это уравнение можно представить в более удобной форме:

${\displaystyle \psi (x,\beta )=\int \langle x|G(\beta )|x'\rangle \psi (x',0)d\tau '}$,

где:

${\displaystyle \langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum _{m=0}^{\infty }\varphi _{m}^{*}(x')\varphi _{m}(x)e^{-\lambda _{m}\beta }}$.

Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).

Функция Грина для лапласиана может быть получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина начнём с закона Гаусса:

${\displaystyle \int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat {A}}\ dV=\int \limits _{S}{\hat {A}}\cdot d{\hat {\sigma }}}$.

Примем ${\displaystyle A=\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi }$ и подставим в закон Гаусса. Вычислим ${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {A}}}$ и применим цепное правило для оператора ${\displaystyle \nabla }$:

${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {A}}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=}$

${\displaystyle =(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )+\varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2}\varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi }$.

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

${\displaystyle \int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S}(\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat {\sigma }}}$.

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор ${\displaystyle L}$ Лапласиан, ${\displaystyle \nabla ^{2}}$, и то, что у нас имеется для него функция Грина ${\displaystyle G}$. Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

${\displaystyle LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })}$.

Положим ${\displaystyle \psi =G}$ в теореме Грина. Тогда получим:

${\displaystyle \int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\varphi (x^{\prime }))\ d^{3}x^{\prime }=}$

${\displaystyle =\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }}$.

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа (${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi (x)=0}$) и уравнение Пуассона (${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)}$) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение ${\displaystyle \varphi (x)}$ всюду внутри заданной области, если (1) значение ${\displaystyle \varphi (x)}$ задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная ${\displaystyle \varphi (x)}$ задана на границе этой области (граничные условия Неймана).

Пусть нас интересует решение ${\displaystyle \varphi (x)}$ внутри области. В этом случае интеграл ${\displaystyle \int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }}$ упрощается до ${\displaystyle \varphi (x)}$ в силу основного свойства дельта-функции, и мы имеем:

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }+\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }}$.

Эта формула выражает известное свойство гармонических функций, состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.

В электростатике ${\displaystyle \varphi (x)}$ понимается как электростатический потенциал, ${\displaystyle \rho (x)}$ как плотность электрического заряда, а нормальная производная ${\displaystyle \nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat {\sigma }}^{\prime }}$ как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде ${\displaystyle G(x,\;x^{\prime })}$. Эта функция обращается в нуль, когда ${\displaystyle x}$ или ${\displaystyle x^{\prime }}$ находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Неймана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

${\displaystyle G({\hat {x}},\;{\hat {x}}^{\prime })={\frac {1}{\left|{\hat {x}}-{\hat {x}}^{\prime }\right|}}}$.

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда.

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat {x}}-{\hat {x}}^{\prime }\right|}}\ d^{3}x^{\prime }}$.

(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай), причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).

Дана задача

${\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u^{\prime \prime }+u=f(x)}$;

${\displaystyle u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}$.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Функция Грина ${\displaystyle g(x,s)}$ в данном случае по определению должна быть решением уравнения

${\displaystyle g^{\prime \prime }+g=\delta (x-s)}$

(3)

где двумя штрихами обозначена вторая производная по ${\displaystyle x}$.

Для ${\displaystyle x\neq s}$, где ${\displaystyle \delta }$-функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):

${\displaystyle g^{\prime \prime }+g=0}$,

то есть для всех точек, кроме ${\displaystyle s}$, функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения

${\displaystyle g=A\cos x+B\sin x}$,

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — константы (не зависят от ${\displaystyle x}$).

Таким образом, ${\displaystyle g(x,s)}$ должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки ${\displaystyle s}$, причём слева и справа от неё коэффициенты ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия: ${\displaystyle u(0)=0}$ — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для ${\displaystyle x<s}$ коэффициент ${\displaystyle A}$ общего решения должен быть нулём, то есть для ${\displaystyle x<s}$

${\displaystyle g(x,\;s)=B\cdot \sin x}$.

Точно так же из правого граничного условия: ${\displaystyle u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}$ — получаем равенство нулю коэффициента ${\displaystyle B}$, то есть для ${\displaystyle x>s}$

${\displaystyle g(x,\;s)=A\cdot \cos x}$.

В итоге, учитывая, что коэффициенты ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ вообще говоря могут зависеть от ${\displaystyle s}$, можем записать:

${\displaystyle g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}B(s)\sin x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}$

Второй шаг:

Нужно определить ${\displaystyle A(s)}$ и ${\displaystyle B(s)}$.

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения ${\displaystyle x<s}$ и ${\displaystyle x>s}$:

${\displaystyle B(s)\sin s=A(s)\cos s}$.

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от ${\displaystyle x=s-\varepsilon }$ до ${\displaystyle x=s+\varepsilon }$ получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

${\displaystyle g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=-A(s)\cdot \sin s-B(s)\cdot \cos s=1}$.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что

${\displaystyle A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s}$.

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

${\displaystyle g(x,\;s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}$,

что можно записать как

${\displaystyle g(x,\;s)={\frac {1}{2}}\left(\sin \left|x-s\right|-\sin(x+s)\right).}$

В данной таблице представлены функции Грина для часто встречающихся дифференциальных операторов, где ${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$, ${\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, ${\displaystyle \textstyle \Theta (t)}$ — функция Хевисайда, ${\displaystyle \textstyle J_{\nu }(z)}$ — функция Бесселя, ${\displaystyle \textstyle I_{\nu }(z)}$ — модифицированная функция Бесселя первого рода и ${\displaystyle \textstyle K_{\nu }(z)}$ — модифицированная функция Бесселя второго рода.^[2] Где время (t) появляется в первой колонке и показаны причинные функции Грина ${\displaystyle G^{A}}$.

Дифференциальный оператор L	Функция Грина G	Пример применения
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}$
${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}$, ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	Гармонический осциллятор
${\displaystyle \Delta _{\text{2D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }$, ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	Уравнение Пуассона
${\displaystyle \Delta _{\text{3D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-1}{4\pi r}}}$, ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$	Уравнение Пуассона
${\displaystyle \Delta _{\text{3D}}+k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}}$${\displaystyle H_{1/2}^{(2)}(kr)}$${\displaystyle =i{\frac {k}{4\pi }}\,}$${\displaystyle h_{0}^{(2)}(kr)}$	стационарное 3D уравнение Шрёдингера для свободной частицы
${\displaystyle \Delta -k^{2}}$ в пространстве с ${\displaystyle n}$ измерениями	${\displaystyle -(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	Потенциал Юкавы, Пропагатор
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)}$	1D волновое уравнение
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)}$	2D волновое уравнение
${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}}$	${\displaystyle {\frac {\delta (t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}}$	3D волновое уравнение
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}}$	1D уравнение диффузии
${\displaystyle \partial _{t}-k\Delta _{\text{2D}}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}}$	2D уравнение диффузии
${\displaystyle \partial _{t}-k\Delta _{\text{3D}}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}}$	3D уравнение диффузии
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	1D уравнение Клейна — Гордона
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	2D уравнение Клейна — Гордона
${\displaystyle \square +\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D уравнение Клейна — Гордона
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	телеграфное уравнение
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	2D релятивистское уравнение теплопроводности
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D релятивистское уравнение теплопроводности

• Пусть дано множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и оператор ${\displaystyle \ L}$ равен ${\displaystyle \ d/dx}$. Тогда функция Хевисайда ${\displaystyle \ H(x-x_{0})}$ является функцией Грина для ${\displaystyle \ L}$ при ${\displaystyle \ x_{0}}$.
• Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости ${\displaystyle {(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}}$ и ${\displaystyle \ L}$ — оператор Лапласа. Также предположим, что при ${\displaystyle \ x=0}$ наложены краевые условия Дирихле, при ${\displaystyle \ y=0}$ — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

${\displaystyle G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]+}$

${\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}$

• Дифференциальный оператор
• Функция Грина для случайно-неоднородной среды
• Метод функции Грина

• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9