Функция Минковского

Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция ${\displaystyle ?(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида ${\displaystyle a+{\sqrt {b}},}$ где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ рациональные) на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.

Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.

В концах отрезка функция Минковского задаётся как ${\displaystyle ?(0)=0}$ и ${\displaystyle ?(1)=1}$. После этого для любых двух рациональных чисел ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$, для которых ${\displaystyle ad-bc=1}$ — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте ${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}}$ определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:

${\displaystyle ?\left({\frac {a+c}{b+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left[?\left({\frac {a}{b}}\right)+{}?\left({\frac {c}{d}}\right)\right].}$

Так

${\displaystyle ?\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {?(0)+{}?(1)}{2}}={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle ?\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {?(0)+{}?(1/2)}{2}}={\frac {1}{4}},}$

${\displaystyle ?\left({\frac {2}{3}}\right)={\frac {?(1/2)+{}?(1)}{2}}={\frac {3}{4}}}$

и так далее.

Поскольку последовательности

${\displaystyle {\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}},}$

${\displaystyle {\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{1}},}$

${\displaystyle {\frac {0}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{1}},}$

в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ (см. дерево Штерна — Броко), такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках ${\displaystyle [0,1]}$. Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа ${\displaystyle [0,1]}$ — иными словами, плотное в ${\displaystyle [0,1]}$ множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции ${\displaystyle ?\colon [0,1]\to [0,1]}$, и это и есть функция Минковского.

Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку ${\displaystyle x\in [0,1]}$, раскладывающуюся в цепную дробь как ${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]}$, функция Минковского переводит в

${\displaystyle ?(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2^{a_{1}+\ldots +a_{k}-1}}}.}$

Иными словами, точка

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}}$

переходит в точку

${\displaystyle ?(x)=0{,}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{1}-1}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{2}}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{3}}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{4}}\ldots _{(2)}.}$

Пусть точка ${\displaystyle x\in [0,1]}$ задаётся цепной дробью ${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]}$. Тогда увеличение ${\displaystyle a_{1}}$ на единицу, то есть, переход к ${\displaystyle y=[0;a_{1}+1,a_{2},\ldots ]}$ задаётся отображением

${\displaystyle f\colon x\mapsto y={\frac {1}{1+{\dfrac {1}{x}}}}={\frac {x}{1+x}},}$

а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:

${\displaystyle ?\left({\frac {x}{1+x}}\right)={\frac {?(x)}{2}}.\qquad (1)}$

С другой стороны, из симметрии относительно ${\displaystyle 1/2}$ медиантной конструкции легко видеть, что

${\displaystyle ?(1-x)=1-{}?(x).\qquad (2)}$

Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения ${\displaystyle g(x)=1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{2-x}}={\frac {1}{2-x}}}$ функция Минковского преобразуется как

${\displaystyle ?\left({\frac {1}{2-x}}\right)={\frac {1+{}?(x)}{2}}.}$

Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований

${\displaystyle F(x,t)=\left({\frac {x}{1+x}},{\frac {t}{2}}\right),\quad G(x,t)=\left({\frac {1}{2-x}},{\frac {1+t}{2}}\right).\qquad (3)}$

Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ ${\displaystyle F}$ — это часть графика над отрезком ${\displaystyle [0,1/2]}$, а образ ${\displaystyle G}$ — график над отрезком ${\displaystyle [1/2,1]}$.

График функции Минковского может быть построен как предельное множество для системы итерируемых функций^[англ.]. А именно, отображения ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$, заданные формулами (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому последовательность множеств ${\displaystyle X_{n}}$, определённая рекурсивно соотношениями

${\displaystyle X_{0}=[0,1]\times [0,1],\quad X_{n+1}=F(X_{n})\cup G(X_{n}),}$

есть убывающая по вложению последовательность множеств, причём график ${\displaystyle \Gamma ={\big \{}{\big (}x,?(x){\big )}\mid x\in [0,1]{\big \}}}$ функции Минковского содержится в любом из них.

Несложно увидеть, что ${\displaystyle X_{n}}$ является объединением прямоугольников высоты ${\displaystyle 1/2^{n}}$, поэтому предельное множество

${\displaystyle X_{\infty }=\bigcap _{n}X_{n}}$

является графиком некоторой функции. Поскольку ${\displaystyle \Gamma \subset X_{\infty }}$, то они совпадают. Поэтому график функции Минковского это предельное множество системы итерируемых функций

${\displaystyle F,G:[0,1]^{2}\to [0,1]^{2}.}$

• Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке ${\displaystyle x\in [0,1]}$ её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на ${\displaystyle [0,1]}$, функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
• Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
• Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число ${\displaystyle x}$ является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности ${\displaystyle ?(x)}$.
• График функции Минковского переводится в себя отображениями ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$, заданными (3), а, следовательно, и их композициями.

• Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
• Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
• Conley, R. M. (2003), A Survey of the Minkowski ?(x) Function, Masters thesis, West Virginia University, ссылка.
• Conway, J. H. (2000), "Contorted fractions", On Numbers and Games (2nd ed.), Wellesley, MA: A K Peters, pp. 82—86.
• Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

• Канторова лестница

• Weisstein, Eric W. Minkowski's Question Mark Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.