Характер группы

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если ${\displaystyle G}$ — группа, то характер — это гомоморфизм из ${\displaystyle G}$ в мультипликативную группу поля (обычно поля комплексных чисел).

Иногда рассматриваются только унитарные характеры — гомоморфизмы в мультипликативную группу поля, образ которых лежит на единичной окружности, или, в случае комплексных чисел, гомоморфизмы в ${\displaystyle U(1)}$. Все прочие гомоморфизмы в ${\displaystyle k^{*}}$ называются в таком случае квазихарактерами.

• Характер топологической группы определяется как непрерывный гомоморфизм в мультипликативную группу поля. Соответственно, характер алгебраической группы — это рациональный гомоморфизм в ${\displaystyle k^{*}.}$

• Характер представления группы — близкое определение для представлений групп, элемент отображается в след своего представления.

• Для произвольной группы ${\displaystyle G}$ множество характеров ${\displaystyle \mathrm {Ch} (G)}$ образует абелеву группу с операцией

  ${\displaystyle \chi _{a}\cdot \chi _{b}=\chi _{ab}.}$

  • Эту группу называют группой характеров.

• Характеры линейно независимы, то есть если ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ — различные характеры группы G, то из равенства ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0}$ следует, что ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.}$

Важным частным случаем характеров являются отображения в группу комплексных чисел, равных по модулю единице. Такие характеры имеют вид ${\displaystyle \chi (a)=e^{2\pi \varphi (a)i}}$, где ${\displaystyle \varphi :G\to {\mathbb {R} },\ \forall a,b\in (G,\circ ):\ \varphi (a)+\varphi (b)=\varphi (a\circ b)}$, и широко изучаются^[1][2][3][4] в теории чисел в связи с распределением простых чисел в бесконечных арифметических прогрессиях. В этом случае изучаемой группой является кольцо вычетов ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{n}}$ с операцией сложения, а функция ${\displaystyle \varphi }$ линейна. При этом множество различных значений линейного коэффициента в функции ${\displaystyle \varphi }$ определяет группу характеров, изоморфную группе ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{n}}$.

Классическим примером использования характеров по модулю является теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Для бесконечных циклических групп, изоморфных ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$, будет существовать бесконечное множество характеров вида ${\displaystyle {\chi _{\alpha }}(n)=e^{2\pi n\alpha i}}$, где ${\displaystyle \alpha \in (0;1)}$.

Для произвольной конечнопорождённой абелевой группы ${\displaystyle (G,\circ )}$ также можно^[5] явно и конструктивно описать множество характеров в ${\displaystyle U(1)}$. Для этого используется теорема о разложении такой группы в прямое произведение циклических групп.

Поскольку любая циклическая группа порядка ${\displaystyle h}$ изоморфна группе ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{h}}$ и её характеры в ${\displaystyle U(1)}$ всегда отображаются во множество ${\displaystyle \left\lbrace {e^{2\pi {\frac {k}{h}}i}:\ k=0,\dots ,h-1}\right\rbrace }$, то для группы, представленной прямым произведением ${\displaystyle G=G_{1}\otimes \dots \otimes G_{s}}$, циклических групп ${\displaystyle G_{i}=\left\lbrace {{g_{i}}^{k}\ :\ 0\leq k<n_{i}}\right\rbrace }$, можно параметризовать характер как произведение характеров циклических этих циклических групп:

${\displaystyle \chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}(x)=e^{2\pi {\frac {k_{1}}{n_{1}}}}\cdot e^{2\pi {\frac {k_{s}}{n_{s}}}}=e^{2\pi ({\frac {k_{1}}{n_{1}}}+\dots +{\frac {k_{s}}{n_{s}}})},0\leq k_{i}<n_{i}}$

Это позволяет провести явный изоморфизм между самой группой ${\displaystyle G}$ и группой её характеров, равной ей по количеству элементов.

${\displaystyle {g_{1}}^{k_{1}}\circ \dots \circ {g_{s}}^{k_{s}}\mapsto \chi _{k_{1},\dots ,k_{s}}}$

Для ${\displaystyle g\in G}$ обозначим через ${\displaystyle \chi _{g}:G\to U(1)}$ характер, соответствующий элементу ${\displaystyle g}$ по описанной выше схеме.

Справедливы^[6] следующие тождества:

${\displaystyle \sum \limits _{g\in G}{\chi (g)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&\chi \not =\chi _{0}\\|G|,&\chi =\chi _{0}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \sum \limits _{x\in G}{\chi _{g}(x)}=\left\lbrace {\begin{matrix}0,&x\not =0\\|G|,&x=0\end{matrix}}\right.}$

Если ${\displaystyle A}$ — ассоциативная алгебра над полем ${\displaystyle k}$, характер ${\displaystyle A}$ — это ненулевой гомоморфизм алгебры ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle k}$. Если при этом ${\displaystyle A}$ — звёздная алгебра,^[] то характер является звёздным гомоморфизмом в комплексные числа.

• Двойственность Понтрягина

• Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — 2-е. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
• Наймарк М. А. Теория представления групп. — М., 1978. — 560 с.