Характер (теория чисел)
Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных[англ.] характеров на обратимых элементах . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством
где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.
Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.
Аксиоматическое определение
Характер Дирихле — это любая функция на множестве целых чисел с комплексными значениями, имеющая следующие свойства[1]:
- Существует положительное целое число k, такое что для любых n.
- Если n и k не взаимно просты, то ; если же они взаимно просты, .
- для любых целых m и n.
Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) . Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что , так что
- .
Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле является вполне мультипликативным[англ.] характером.
Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что
- если , то .
Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что (где является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), , а по свойству 3) . Следовательно,
- Для всех a, взаимно простых с k, является -ым комплексным корнем из единицы,
то есть для некоторого целого .
Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.
- Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с , называется главным:
- [2].
- В группе характеров по модулю он играет роль единицы.
Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным[3]
Знак характера зависит от его значения в точке −1. Говорят, что нечётный, если , и чётный, если .
Построение через классы вычетов
Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы характеров[англ.] группы обратимых элементов кольца как расширенные характеры классов вычетов[4].
Классы вычетов
Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k: То есть класс вычетов является классом смежности n в факторкольце .
Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка , где умножение в группе задаётся равенством , а снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов , а обратным элементом для является класс вычетов , где , то есть . Например, для k=6 множеством обратимых элементов является , поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.
Группа характеров состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов на примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что факторизуются как [5].
Характеры Дирихле
Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен характером[англ.] группы обратимых элементов по модулю k[6]: группа гомоморфизмов из в ненулевые комплексные числа
- ,
со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем поднять[англ.] до вполне мультипликативной[англ.] функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле[7].
Главный характер по модулю k имеет свойства [7]
- при НОД(n, k) = 1 и
- при НОД(n, k) > 1.
Ассоциированный характер мультипликативной группе является главным характером, который всегда принимает значение 1[8].
Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.
Имеется характеров Дирихле по модулю n[7].
Примеры
- Для любого нечётного модуля символ Якоби является характером по модулю .
- Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.
Некоторые таблицы характеров
Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры являются главными характерами.
По модулю 1
Существует характер по модулю 1:
0 1
Это тривиальный характер.
По модулю 2
Существует характер по модулю 2:
0 1 0 1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.
По модулю 3
Есть характера по модулю 3:
0 1 2 0 1 1 0 1 −1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.
По модулю 4
Существует характера по модулю 4:
0 1 2 3 0 1 0 1 0 1 0 −1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.
L-ряд Дирихле для равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)
- ,
где является дзета-функцией Римана. L-ряд для является бета-функцией Дирихле
По модулю 5
Существует характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из .
0 1 2 3 4 0 1 1 1 1 0 1 i −i −1 0 1 −1 −1 1 0 1 −i i −1
Заметим, что полностью определяется значение , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.
По модулю 6
Существует характеров по модулю 6:
0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 −1
Заметим, что полностью определяется значением, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.
По модулю 7
Существует характеров по модулю 7. В таблице ниже
0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 −1 0 1 − 1 0 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1 0 1 −1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.
По модулю 8
Существует характеров по модулю 8.
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 −1 0 1
Заметим, что полностью определяется значениями и , поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.
По модулю 9
Существует характеров по модулю 9. В таблице ниже
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 1 0 0 1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 −1
Заметим, что полностью определяется значением, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.
По модулю 10
Существует характеров по модулю 10.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 i 0 0 0 −i 0 −1 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 1 0 −i 0 0 0 i 0 −1
Заметим, что полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.
Примеры
Если p является нечётным простым числом, то функция
- где является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p[9].
Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция
- где является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m[9].
Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби[10].
Примитивные характеры и кондуктор
При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если является характером по модулю M, он индуцирует характер по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю[3].
Если – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для , если для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d[11]: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля[12].
Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров и как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N1 и N2 оба делят N, мы имеем для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер , порождённый как , так и . Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.
Непримитивность характеров может привести к отсутствию эйлеровых множителей[англ.] в их L-функциях.
Ортогональность характеров
Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле[13].
Если мы зафиксируем характер по модулю n, то
- ,
если не главный характер, иначе сумма равна .
Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт
- ,
кроме случая a=1, когда сумма равна .
Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле[14].
История
Характеры Дирихле вместе с их -рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для и в основном когда стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.
См. также
- Характер Гекке[англ.]
- Сумма характеров[англ.]
- Сумма Гаусса
- Примитивный корень по модулю n
- Класс Сельберга[англ.]
Примечания
- ↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 117-8.
- ↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 115.
- ↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007, с. 123.
- ↑ Fröhlich, Taylor, 1991, с. 218.
- ↑ Fröhlich, Taylor, 1991, с. 215.
- ↑ Apostol, 1976, с. 139.
- ↑ 1 2 3 Apostol, 1976, с. 138.
- ↑ Apostol, 1976, с. 134.
- ↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007, с. 295.
- ↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 296.
- ↑ Apostol, 1976, с. 166.
- ↑ Apostol, 1976, с. 168.
- ↑ Apostol, 1976, с. 140.
- ↑ Davenport, 1967, с. 31–32.
Литература
- Apostol T. M. Introduction to analytic number theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3.
- Apostol T. M. Some properties of completely multiplicative arithmetical functions // The American Mathematical Monthly. — 1971. — Т. 78, вып. 3. — С. 266–271. — doi:10.2307/2317522. — .
- Harold Davenport. Multiplicative number theory. — Chicago: Markham, 1967. — Т. 1. — (Lectures in advanced mathematics).
- Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Наука», 1971.
- Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2nd revised. — Springer-Verlag. — Т. 59. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). см. главу 13.
- Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: Иностранной литературы, 1953.
- Mathar, R. J. (2010). "Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli". arXiv:1008.2547 [math.NT].
- Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. Multiplicative number theory. I. Classical theory. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 97. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-84903-9.
- Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Мир», 1974.
- Robert Spira. Calculation of Dirichlet L-Functions // Mathematics of Computation. — 1969. — Т. 23, вып. 107. — С. 489–497. — doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X.
- Fröhlich A., Taylor M.J. Algebraic number theory. — Cambridge University Press, 1991. — Т. 27. — (Cambridge studies in advanced mathematics). — ISBN 0-521-36664-X.
Литература
- Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
- Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.