Хвост распределения

Хвост распределе́ния — участок графика плотности статистического распределения ${\displaystyle f(x)}$, отвечающий стремлению непрерывной случайной величины ${\displaystyle x}$ к плюс или минус бесконечности и в целом характеризующийся уменьшением значений ${\displaystyle f(x)}$ с ростом ${\displaystyle |x|}$, на которое могут накладываться особенности. Форма фигуры, ограничиваемой указанным участком и осью абсцисс, напоминает вытянутый хвост животного. Граница хвоста ${\displaystyle x_{L|R}}$ выбирается субъективно. Под хвостом понимается также диапазон изменения ${\displaystyle x}$, соответствующий хвосту в графическом смысле (то есть ${\displaystyle [x_{R};\,+\infty )}$ или ${\displaystyle (-\infty ;\,x_{L}]}$). Если величина ${\displaystyle x}$ изменяется в конечных пределах, то хвостов у ${\displaystyle f}$ нет.

При больших по модулю значениях величины ${\displaystyle x}$ плотность распределения ${\displaystyle f(x)}$ во многих практических ситуациях спадает по экспоненциальному закону ${\displaystyle f(x)\sim \exp(-a|x|)}$ или быстрее (здесь ${\displaystyle a=\,}$const > 0). Например, для ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ при нормальном распределении и при ${\displaystyle x\to +\infty }$ для распределения Максвелла убывание ${\displaystyle f}$ происходит как ${\displaystyle f(x)\sim \exp(-a\,x^{2})}$. Но встречаются и ситуации так называемых «тяжёлых» хвостов, когда спад идёт медленнее, чем ${\displaystyle \sim \exp(-a|x|)}$.

Обычно хвост(ы) распределения малозначим(ы) для нормировки, то есть при вычислении интеграла ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx}$ хвостовой вклад пренебрежим. Однако существование хвостов может оказаться весьма принципиальным при более сложных вычислениях, например выражений типа ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx}$, где ${\displaystyle g(x)}$ — некая функция, нарастающая при увеличении ${\displaystyle |x|}$. Пример крайне высокой значимости хвостов даёт распределение популяции горячих электронов в твердотельных приборах: в таком случае роль ${\displaystyle x}$ играет энергия электрона ${\displaystyle E}$ (${\displaystyle E>0}$). Величина плотности ${\displaystyle f}$ на хвосте при высоких ${\displaystyle E}$ мала, поскольку электронов с такими энергиями почти нет, но оказывается, что именно эти немногочисленные электроны ответственны за деградацию прибора.