В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов
- для всех .
Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:
- 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS
Свойства
Производящая функция:
По формуле Стирлинга получаем:
- при .
Полезные ограничения:
- для каждого
Если нужна большая точность:
- где для всех .
С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, Cn. Их формула:
- для каждого .
Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа , для всех действительных n, при которых выражение определено, где — это Гамма-функция, а это Бета-функция.
См. также
- Предположение Эрдёша о бесквадратности
Ссылки