Цепочка Тоды

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Цепо́чка То́ды (англ. Toda's chain) — система дискретных нелинейных уравнений, описывающих динамику взаимосвязанных нелинейных осцилляторов. Имеет важное значение в теории колебаний кристаллических решёток.

Система в общем случае имеет вид[1]:

где имеет смысл величины отклонения n-го осциллятора от положения равновесия, а  — нелинейная функция, имеющая смысл возвращающей силы, действующей на i-ый осциллятор. Точки означают взятие операции дифференцирования.

Впервые предложена и проанализирована для случая Морикадзу Тодой в 1967 году[2][3].

Эквивалентная форма

Уравнение цепочки Тоды удобно анализировать в эквивалентной форме следующего вида

Решения

Можно показать, что уравнения, описывающие динамику цепочки Тоды, имеют решения в виде стационарных бегущих волн, имеющих вид

где функция в случае, если , удовлетворяет уравнению

Решение этого уравнения выражается через эллиптические функции Якоби:

где

 — дзета-функция Якоби, имеющая период 2K

Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода. Связь коэффициентов b и с параметрами , и m достаточно сложна, однако упрощается в предельных случаях.

Функция находится из соотношения

Особым решением является уединённое локализованное решение солитонного типа. Оно может быть получено в пределе , при одновременном выполнении условий:

В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические, и решение принимает вид

М. Тода в своих работах показал, что эти солитоны после взаимодействия друг с другом не изменяют первоначальную форму. Любое начальное распределение в процессе эволюции разделяется на множество солитонов. Точное решение этой задачи было получено методом обратной задачи рассеяния[4][5].

Примечания

  1. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 554. — 622 с.
  2. Morikazu Toda. Vibration of a Chain with Nonlinear Interaction (англ.) // J. Phys. Soc. Jpn.. — 1967. — Vol. 22. — P. 431-436.
  3. Morikazu Toda. Wave Propagation in Anharmonic Lattices (англ.) // J. Phys. Soc. Jpn.. — 1967. — Vol. 23. — P. 501-506.
  4. С. В. Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. — 1974. — Т. 67, № 2. — С. 543—555.
  5. H. Flashka. On the Toda lattice II (англ.) // Progr. Theor. Phys.. — 1974. — Vol. 51. — P. 703—716.

Литература