Цепь Паппа Александрийского

Цепь Паппа Александри́йского — кольцо внутри двух касающихся кругов, заполненных попарно касающимися кругами меньших диаметров. Исследована Паппом Александрийским в III веке н. э.

Возьмём точки ${\displaystyle A,B,C}$ в таком порядке на одной прямой и построим окружности ${\displaystyle C_{U}}$ и ${\displaystyle C_{V}}$ с диаметрами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно, центры которых обозначим ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$. Фигура, ограниченная окружностями, схожа с арбелосом (но её граница состоит из двух окружностей вместо трёх дуг) и допускает цепь окружностей, так же как и в теореме Паппа Александрийского. При этом каждый круг из цепи касается окружности ${\displaystyle C_{U}}$ снаружи, окружности ${\displaystyle C_{V}}$ изнутри и двух соседних окружностей цепи.

• Центры ${\displaystyle P_{n}}$ кругов цепи расположены на общем эллипсе, фокусами которого являются центры ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ окружностей объемлющей фигуры, поскольку сумма расстояний от центра n-го до точек ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ не зависит от n:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{U}+r_{n}\right)+\left(r_{V}-r_{n}\right)=r_{U}+r_{V}}$

• Если ${\displaystyle r=AC/AB}$, то центр ${\displaystyle P_{n}}$ и радиус ${\displaystyle r_{n}}$ n-го круга цепи задаются формулами

${\displaystyle \left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right),}$

${\displaystyle r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}}$

• Арбелос
• Окружность Форда
• Поризм Понселе
• Поризм Штейнера
• Сетка Аполлония
• Цепь Понселе

• Ogilvy, C. S.^[англ.]. Excursions in Geometry (неопр.). — Dover, 1990. — С. 54—55. — ISBN 0-486-26530-7.
• Leon Bankoff. How did Pappus do it? // The Mathematical Gardner / D. A. Klarner. — Boston: Prindle, Weber, & Schmidt, 1981. — P. 112–118.
  • Леон Банков. 2.6. Как Папп доказал свою теорему? // Математический цветник / Сост. и ред. Д. А. Кларнер; пер. с англ. Ю. А. Данилова; под. ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1983. — С. 143—152.
• Johnson, R. A. Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (англ.). — reprint of 1929 edition by Houghton Miflin. — New York: Dover Publications, 1960. — P. 116—117. — ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (англ.). — New York: Penguin Books, 1991. — P. 5—6. — ISBN 0-14-011813-6.

• Floer van Lamoen and Eric W. Weisstein. Pappus Chain (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Tan, Stephen Arbelos  (неопр.).