Циклический порядок
Циклический порядок — способ упорядочивания объектов таким образом, чтобы последовательное движение по порядку после полного обхода совокупности возвращалось на начальный объект движения; полный порядок, «соединённый концами» в цикл. В отличие от структур, изучаемых в теории порядков, такой порядок не моделируется бинарным отношением, таким как «a < b», например, нельзя сказать, что восток «больше по часовой стрелке», чем запад; вместо этого циклический порядок определяется как тернарное отношение [a, b, c], означающее, что «после a достигается b раньше, чем c». Например, [Июнь, Октябрь, Февраль]. Тернарное отношение называется циклическим порядком, если оно является циклическим (), асимметричным, транзитивным и полным. Порядок, не обладающий всеми этими свойствами, кроме полноты, называется частичным циклическим порядком[англ.].
Множество с циклическим порядком называется циклически упорядоченным множеством, или просто циклом[nb]. Некоторые циклы дискретны, имея лишь конечное число элементов — имеется семь дней недели, четыре стороны света, двенадцать нот в хроматической гамме и три игрока в игре «камень, ножницы, бумага». В конечном цикле каждый элемент имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент». Существуют также непрерывные циклы с бесконечным числом элементов, такие как ориентированная единичная окружность на плоскости.
Циклические порядки тесно связаны с более известными линейными порядками, которые упорядочивают объекты вдоль прямой. Любой линейный порядок может быть свёрнут в цикл и любой циклический порядок может быть разрезан в точке, получая линейный порядок. Эти операции, вместе со связанными построениями интервалов и накрывающими отображениями, означают, что вопросы о циклических порядках могут часто быть трансформированы в вопросы о линейных порядках. Циклы имеют больше симметрий, чем линейные порядки, и они часто естественным образом возникают как вычеты линейных структур, как в конечных циклических группах или вещественных проективных прямых[англ.].
Конечные циклы
Циклический порядок на множестве X с n элементами подобен расположению элементов множества X на циферблате с n часами. Каждый элемент x из X имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент» и выбирая либо последующие, либо предыдущие элементы цикла, можно пройти в точности один раз через все элементы x(1), x(2), ..., x(n).
Существует несколько эквивалентных способов дать это определение. Циклический порядок на множестве X будет тем же при перестановке элементов по циклу. Цикл с n элементами является Zn-торсором[англ.] — это множество со свободным транзитивным действием конечной циклической группы[1]. Другая формулировка заключается в превращении X в стандартный ориентированный граф-цикл с n вершинами путём сопоставления элементов множества вершинам.
Можно использовать инстинктивно циклические порядки для симметрических функций, например, как в случае
- xy + yz + zx,
где запись последнего одночлена в виде xz отвлекло бы внимание от структуры.
По существу, использование циклических порядков проявляется в определении классов сопряжённости свободных групп. Два элемента g и h группы F на множестве Y смежны тогда и только тогда, когда они записываются как произведения на элементы y и y−1 с y из Y, а тогда эти произведения располагаются в циклическом порядке. Циклические порядки эквивалентны при переписывании правил, которые позволяют удалять или добавлять смежные y и y−1.
Циклический порядок на множестве X может быть определён линейным порядком на X, но не единственным образом. Выбор линейного порядка эквивалентен выбору первого элемента, так что имеется в точности n линейных порядков, порождённых данным циклическим порядком. Поскольку имеется n! возможных линейных порядков, существует (n − 1)! возможных циклических порядков.
Определение
Бесконечное множество может также быть упорядочено циклически. Важными примерами бесконечных циклов являются единичная окружность, S1, и рациональные числа, Q. Основная идея одна и та же — мы упорядочиваем элементы в множестве по окружности. Однако в бесконечном случае мы не можем полагаться на отношение непосредственного следования, поскольку точки могут не иметь предшественника. Например, если дана точка на окружности, нет никакой «следующей точки». Нельзя также полагаться на бинарное отношение, какая из двух точек «первая». Проходя по часовой стрелке по окружности, ни с одной, ни с другой стороны точки не идут раньше, но следуют одна за другой.
Вместо этого мы используем тернарное отношение, указывая, что элементы a, b, c идут один за другим (не обязательно немедленно) вдоль окружности. Например, в порядке часовой стрелки, [восток, юг, запад]. При использовании каррирования аргументов тернарного отношения [a, b, c] можно считать циклический порядок однопараметрическим семейством бинарных отношений порядка, которые называются сечениями, или двупараметрическим семейством подмножеств множества K, которые называются интервалами.
Тернарное отношение
Общее определение следующее: циклический порядок на множестве X — это отношение (пишется [a, b, c]), которое удовлетворяет следующим аксиомам:[nb]
- Цикличность: Из [a, b, c] следует [b, c, a]
- Асимметрия: Из [a, b, c] следует неверность [c, b, a]
- Транзитивность: Если [a, b, c] и [a, c, d], то [a, b, d]
- Полнота: Если a, b и c различны, то либо [a, b, c], либо [c, b, a]
Аксиомы названы по аналогии с аксиомами асимметрии, транзитивности и полноты[англ.] для бинарного отношения, которые вместе определяют строго линейный порядок. Эдвард Хантингтон[2][3] предложил другой возможный список аксиом, включая аксиомы, подчёркивающие аналогию циклического порядка с отношением «между»[англ.]. Тернарное отношение, удовлетворяющее первым трём аксиомам, но не обязательно аксиоме полноты, называется частичным циклическим порядком[англ.].
Развёртки и разрезы
Если дан линейный порядок < на множестве X, циклический порядок на X, порождённый порядком <, определяется следующим образом[4][5]:
- [a, b, c] тогда и только тогда, когда a < b < c, или b < c < a, или c < a < b
Два линейных порядка порождают тот же циклический порядок, если они могут быть преобразованы друг в друга циклической перестановкой, как это происходит при снятии карт[англ.][6]. Можно определить отношение циклического порядка как тернарное отношение, порождённое строго линейным порядком (как показано выше)[7].
Удаление одной точки из циклического порядка оставляет линейный порядок. Более точно, если дано циклически упорядоченное множество (K, [ ] ), каждый элемент a ∈ K определяет естественный линейный порядок <a на оставшемся множестве, K ∖ a со следующим правилом[8][9]:
- x <a y тогда и только тогда, когда [a, x, y].
Более того, <a можно расширить путём добавления a в качестве наименьшего элемента. Получающийся линейный порядок на K называется главным сечением с наименьшим элементом a. Подобным же образом добавление a в качестве наибольшего элемента приводит к сечению <a.[10]
Интервалы
Если даны два элемента , открытый интервал от a до b, записывается (a, b), — это множество всех , таких что [a, x, b]. Система открытых интервалов полностью определяет циклический порядок и может быть использована как альтернативное определение циклического отношения[11].
Интервал (a, b) имеет естественный линейный порядок, задаваемый отношением <a. Можно определить полузамкнутые и замкнутые интервалы [a, b), (a, b] и [a, b] путём присоединения a в качестве наименьшего[англ.] и/или b в качестве наибольшего[англ.] элементов.[12] Как специальный случай открытый интервал (a, a) определяется как разрез K ∖ a.
Более обще, собственное подмножество S множества K называется выпуклым, если оно содержит все интервалы между любой парой точек — для либо (a, b), либо (b, a) должно также лежать в S[13]. Выпуклое множество является линейно упорядоченным при сечении <x для любого x, не входящего в множество. Это упорядочение не зависит от выбора x.
Автоморфизмы
Так как окружность имеет упорядочение по часовой стрелке и противоположное упорядочение, любое множество с циклическим порядком имеет два смысла. Биекция множества, сохраняющая порядок, называется упорядоченным соответствием. Если смысл (направление) то же самое, биекция называется прямым соответствием, в противном случае — обратным соответствием[14]. Коксетер использовал отношение разделения[англ.] для описания циклического порядка и это отношение достаточно сильно для отличия двух смыслов циклического порядка. Автоморфизмы циклически упорядоченного множества могут быть отождествлены с C2, двухэлементной группой прямых и обратных соответствий.
Монотонные функции
Идея «циклический порядок = расположение на окружности» работает, поскольку любое подмножество цикла также является циклом. Чтобы использовать эту идею для введения циклического порядка на множествах, которые на самом деле не являются единичными окружностями на плоскости, нужно рассматривать функции между множествами.
Функция между двумя циклически упорядоченными множествами, f : X → Y, называется монотонной функцией или гомоморфизмом, если она сохраняет порядок на Y — если [f(a), f(b), f(c)], имеем [a, b, c]. Эквивалентно, f монотонна, если в случае [a, b, c] и элементы f(a), f(b) и f(c) различны, то [f(a), f(b), f(c)]. Типичный пример монотонной функции — следующая функция на цикле из 6 элементов:
- f(0) = f(1) = 4,
- f(2) = f(3) = 0,
- f(4) = f(5) = 1.
Функция называется вложением, если она монотонна и инъективна[nb]. Эквивалентно, вложение — это функция, которая переносит порядок с множества X: из [a, b, c] следует [f(a), f(b), f(c)]. В качестве важного примера, если X является подмножеством циклически упорядоченного множества Y и в X задан естественный порядок, то отображение включения[англ.] i : X → Y является вложением.
В общем случае инъективная функция f из неупорядоченного множества X в цикл Y порождает циклический порядок на X, который делает функцию f вложением.
Функции на конечных множествах
Циклический порядок на конечном множестве X может быть определён по вложению в единичную окружность, X → S1. Существует много возможных функций, порождающих тот же циклический порядок — фактически, бесконечно много. Чтобы дать количественную оценку, необходимо использовать более сложный объект, чем число. Исследование конфигурационного пространства всех таких отображений приводит к определению (n − 1)-мерного многогранника, известного под названием циклоэдр[англ.]. Циклоэдры первоначально использовались для изучения инвариантов узлов[15]. Они позднее были применены для экспериментального выявления периодических генов при изучении биологических часов[16].
Категория гомеоморфизмов стандартных конечных циклов называется циклической категорией[англ.]. Она может быть использована для построения циклической гомотопии Аллена Конна.
Можно определить степень функции между циклами аналогично степени непрерывного отображения. Например, естественное отображение квинтового круга в хроматический круг[англ.] является отображением степени 7. Можно определить также число вращения.
Замыкание
- Сечение с наименьшим и наибольшим элементом называется прыжком. Например, любое разбиение конечного цикла Zn является прыжком. Цикл без прыжков называется плотным[17][18].
- Сечение, в котором нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента, называется щелью. Например, рациональные числа Q имеют щель в любом иррациональном числе. Для этих чисел имеется также щель на бесконечности, то есть обычный порядок. Цикл без щелей называется полным[англ.][19][18].
- Сечение с одной конечной точкой называется главным сечением. Например, любое сечение окружности S1 является главным. Цикл, в котором любое сечение является главным, будучи плотным и полным, называется непрерывным[20][18].
Множество всех сечений является циклическим порядком со следующим отношением: [<1, <2, <3] тогда и только тогда, когда существуют x, y, z такие что[21]:
- x <1 y <1 z,
- x <1 y <2 z <2 x и
- x <1 y <1 z <3 x <3 y.
Некоторые подмножества сечений этого цикла являются пополнением Дедекинда[англ.] исходного цикла.
Дополнительные построения
Разворачивания и покрытия
Начав с циклически упорядоченного множества K, можно образовать линейный порядок путём разворачивания его на бесконечную прямую. Это отражает интуитивное понимание прохождения по окружности. Формально, линейный порядок определяется на прямом произведении Z × K, где Z — множество целых чисел, путём фиксации элемента a и требования, чтобы для всех i[22][23]:
- Если [a, x, y], то ai < xi < yi < ai + 1.
Например, месяцы январь 2024, май 2024, сентябрь 2024 и январь 2025 находятся в таком порядке.
Это упорядочение Z × K называется универсальным накрытием K[nb]. Его порядковый тип не зависит от выбора a, что нельзя сказать об обозначениях, поскольку целочисленная координата «перекатывается» через a. Например, хотя циклический порядок высотных классов совместим с алфавитным порядком от A до G, буква C выбрана в качестве первой ноты октавы, так что в американской системе нотации за B3 следует C4.
Обратное построение начинает с линейно упорядоченного множества и сворачивает его в циклически упорядоченное множество. Если дано линейно упорядоченное множество L и сохраняющая порядок биекция T : L → L с незамкнутыми орбитами, пространство траекторий L / T является циклически упорядоченным по необходимому условию:[11][nb]
- Если a < b < c < T(a), то [[a], [b], [c]].
В частности, можно найти K, определив T(xi) = xi + 1 на Z × K.
Существует также n-кратное покрытие для конечных n. В этом случае одно циклически упорядоченное множество накрывает другое циклически упорядоченное множество. Например, время суток дважды накрывает 12-часовое время. В геометрии пучок лучей, исходящих из точки на ориентированной плоскости является двойным накрытием пучка неориентированных прямых, проходящих через ту же точку[24][23]. Эти накрытия можно описать как их поднятие до универсального накрытия[11].
Произведения и стягивания
Если дано циклически упорядоченное множество (K, [ ]) и линейно упорядоченное множество (L, <), (полное) лексикографическое произведение — это циклический порядок на прямом произведении K × L, определённый как[(a, x), (b, y), (c, z)] когда выполняется:[25]
- [a, b, c]
- a = b ≠ c и x < y
- b = c ≠ a и y < z
- c = a ≠ b и z < x
- a = b = c и [x, y, z]
Лексикографическое произведение K × L глобально выглядит как K, а локально как L. Его можно рассматривать как K копий L. Это построение иногда используется для описания циклически упорядоченных групп[26].
Можно склеить вместе различные линейно упорядоченные множества для образования циклически упорядоченного множества. Например, если даны два линейно упорядоченных множества L1 и L2, можно образовать цикл путём соединения этих множеств на положительной и отрицательной бесконечностях. Циклический порядок на несвязном объединении L1 ∪ L2 ∪ {–∞, ∞} определяется как ∞ < L1 < –∞ < L2 < ∞, где порождённый порядок на L1 противоположен исходному порядку. Например, множество всех долгот циклически упорядочено путём склеивания всех восточных точек и всех западных точек вдоль нулевого меридиана и 180-го меридиана. Кульман, Маршалл и Осяк[27] использовали это построение для описания пространств упорядочений и вещественных точек двойных формальных рядов Лорана над вещественным замкнутым полем[англ.]*[28].
Топология
Открытые интервалы образуют базу для естественной топологии, циклической порядковой топологии[англ.]. Открытые множества в этой топологии — это в точности те множества, которые открыты в любом совместимом линейном порядке[29]. Чтобы проиллюстрировать разницу, на множестве [0, 1), подмножество [0, 1/2) является окрестностью 0 в линейном порядке, но не в циклическом.
Интересными примерами циклически упорядоченных пространств являются конформные границы односвязной поверхности Лоренца[англ.][30] и лепестковые пространства поднятых центральных расслоений некоторых 3-многообразий[31]. Дискретные динамические системы[англ.] на циклически упорядоченных пространствах также изучались[32].
Интервальная топология отбрасывает исходную ориентацию циклического порядка. Ориентацию можно восстановить путём добавления интервалов с их порождёнными линейными порядками. Тогда имеем множество, покрытое атласом линейных порядков, которые совместимы при перекрытии. Другими словами, циклически упорядоченное множество можно рассматривать как локально упорядоченное пространство, как объекты, подобные многообразиям, но с отношениями порядка вместо криволинейной системы координат. Эта точка зрения делает более точными концепции, такие как накрывающие отображения. Обобщение локально частично упорядоченного пространства изучается в статье Ролла[33], см. также Ориентированная топология[англ.].
Связанные структуры
Группы
Циклически упорядоченная группа[англ.] — это множество со структурой группы и циклическим порядком, таким, что левое и правое умножение сохраняет циклический порядок. Циклически упорядоченные группы первым глубоко изучал Ладислав Ригер[англ.] в 1947[34]. Циклически упорядоченные группы являются обобщением циклических групп — бесконечной циклической группы Z и конечных циклических групп Z/n. Поскольку линейный порядок порождает циклический порядок, циклически упорядоченные группы являются также обобщением линейно упорядоченных групп — рациональных чисел Q, вещественных чисел R и так далее. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из перечисленных категорий — это группа круга T и её подгруппы, такие как подгруппа рациональных точек[англ.].
Любая циклически упорядоченная группа может быть выражена как фактор-группа L / Z, где L является линейно упорядоченной группой, а Z — циклическая конфинальная подгруппа группы L. Любую циклическую упорядоченную группу можно выразить как произведение T × L, где L — линейно упорядоченная группа. Если циклически упорядоченная группа является архимедовой или компактной, её можно вложить в саму группу T[35].
Модифицированные аксиомы
Частичный циклический порядок[англ.] — это тернарное отношение, обобщающее (полный) циклический порядок тем же образом, как частично упорядоченное множество обобщает линейно упорядоченное множество. В этом случае порядок является циклическим, асимметричным и транзитивным, но не обязательно полным. Упорядоченное многообразие — это частичный циклический порядок, удовлетворяющий дополнительной распределительной аксиоме. Замена аксиомы асимметрии на комплементарную версию приводит к определению коциклического порядка. Полные коциклические порядки связаны с циклическими порядками таким же образом, как ≤ связан с <.
Циклический порядок удовлетворяет сильной 4-точечной аксиоме транзитивности. Одна структура, более слабая, чем эта аксиома, это CC система[англ.] — тернарное отношение, являющееся циклическим, асимметричным и полным, но, в общем случае, не транзитивным. Вместо этого система CC должна удовлетворять 5-точечной аксиоме транзитивности и новой аксиоме внутренности, которая ограничивает 4-точечные конфигурации, которые нарушают циклическую транзитивность[36].
От циклического порядка требуется, чтобы он был симметричен относительно циклических перестановок, [a, b, c] ⇒ [b, c, a] и симметричен относительно обратимости: [a, b, c] ⇒ ¬[c, b, a]. Тернарное отношение, асимметричное относительно циклической перестановки и симметричное относительно обратимости, вместе с подходящими версиями аксиом транзитивности и полноты, называется соотношением «между»[англ.]. Отношение разделения[англ.] является кватернарным отношением, которое можно понимать как циклический порядок без ориентации. Взаимосвязь между циркулярным порядком и отношения разделения[англ.] аналогична взаимосвязи между линейным порядком и отношением «между»[37].
Симметрии и теория моделей
Эванс, Макферсон и Иванов[38] дали теоретико-модельное описание накрывающих отображений циклов.
Тарарин[39][39] изучал группы автоморфизмов циклов с различными свойствами транзитивности. Жироде и Холланд [40] описали циклы, полные группы автоморфизмов которых действуют свободно и транзитивно. Камперо-Арена и Трасс[41] описали счётные цветные циклы, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно. Трасс[42] изучал группу автоморфизмов уникального (с точностью до изоморфизмов) счётного плотного цикла.
Кулпешов и Макферсон[43] изучали условия минимальности[англ.] на циклических порядках структур[англ.], то есть моделях языков первого порядка, которые включают отношение циклического порядка. Эти условия аналогичны o-минимальности[англ.] и слабой o-минимальности[англ.] для случая линейно упорядоченных структур. Кулпешов[44][13] продолжил некоторое описание ω-категоричных[англ.] структур[45].
Восприятие
Ханс Фройденталь подчеркнул роль циклических порядков в когнитивном развитии, в отличие от Жана Пиаже, который рассматривал только линейные порядки. Были проведены эксперименты по исследованию ментального образа циклически упорядоченных множеств, таких как месяца года.
Примечания
↑ В литературе на английском языке этот порядок может называться cyclic order[46], circular order (круговой порядок) [46], cyclic ordering (циклическое упорядочение)[47] или circular ordering (круговое упорядочение)[48]. Можно встретить также названия total cyclic order (вполне циклический порядок)[49], complete cyclic order (полностью циклический порядок)[50], linear cyclic order (линейный циклический порядок) [10], l-cyclic order или ℓ-cyclic order (l-/ℓ-циклический порядок)[51], чтобы подчеркнуть отличие от более широкого класса частичных циклических порядков[англ.], которые они называют просто циклическими порядками. Наконец, некоторые авторы используют термин циклический порядок для обозначения неориентированного кватернарного отношения разделения[англ.][52].
↑ Множество с циклическим порядком можно назвать циклом[50] или окружностью[53]. В литературе на английском языке появляются также названия cyclically ordered set (циклически упорядоченное множество), circularly ordered set (упорядоченное по кругу множество), total cyclically ordered set (вполне циклически упорядоченное множество), complete cyclically ordered set (полностью циклически упорядоченное множество ), linearly cyclically ordered set (линейно циклически упорядоченное множество), l-cyclically ordered set (l-циклически упорядоченное множество), ℓ-cyclically ordered set (ℓ-циклически упорядоченное множество ). Все авторы соглашаются, что цикл полностью упорядочен.
↑ Существует несколько различных символов для циклического отношения. Хантингтон[46] использовал соединение в цепочку: ABC. Чех[54] и Новак[50] использовали упорядоченные тройки и символ включения: (a, b, c) ∈ C. Мегиддо[55] использовал соединение в цепочку и символ включения: abc ∈ C, понимая под abc циклически упорядоченную тройку. В литературе по теории групп, как у Швирцковского[56], Чернака и Якубика[57], чаще употребляются квадратные скобки: [a, b, c]. Жироде и Холланд[53] используют круглые скобки: (a, b, c), оставляя квадратные скобки для отношения «между». Камперо-Арена и Трасс[58] используют запись в стиле функций: R(a, b, c). Ригер[59], которого цитирует Пекинова[60]), использует символ «меньше» как разделитель: < x, y, z <. Некоторые авторы используют инфиксное обозначение: a < b < c, понимая, что такое обозначение не соответствует обычной интерпретации a < b и b < c для того же бинарного отношения <[61]. Вайнштайн[62] подчёркивает циклическую природу отношения путём повторения элемента: p ↪ r ↪ q ↪ p.
↑ Новак[63] называет вложение «изоморфным вложением».
↑ Отображение T Бодвич называет архимедовым[64], Камперо-Арена и Трасс называют котерминальным[65], а Макмаллен называет трансляцией[11].
↑ Макмаллен[11] называет Z × K «универсальным накрытием» K. Жироде и Холланд[66] написали, что K является «свёрткой» Z × K. Фройдентал и Бауэр[23] называют Z × K «∞-кратным накрытием» K. Часто это построение записывается в антилексикографическом порядке на K × Z.
Источники
- ↑ Brown, 1987, с. 52.
- ↑ Huntington, 1916.
- ↑ Huntington, 1924.
- ↑ Huntington, 1935, с. 6.
- ↑ Čech, 1936, с. 25.
- ↑ Calegari, 2004, с. 439.
- ↑ Courcelle, 2003.
- ↑ Huntington, 1935, с. 7.
- ↑ Čech, 1936, с. 24.
- ↑ 1 2 Novák, 1984, с. 323.
- ↑ 1 2 3 4 5 McMullen, 2009, с. 10.
- ↑ Giraudet, Holland, 2002, с. 2.
- ↑ 1 2 Кулпешов, 2009.
- ↑ Coxeter, 1949, с. 25.
- ↑ Stasheff, 1997, с. 58.
- ↑ Morton, Pachter, Shiu, Sturmfels, 2007.
- ↑ Novák, 1984, с. 325.
- ↑ 1 2 3 Novák, Novotný, 1987, с. 409–410.
- ↑ Novák, 1984, pp. 325, 331.
- ↑ Novák, 1984, с. 333.
- ↑ Novák, 1984, с. 330.
- ↑ Roll, 1993, с. 469.
- ↑ 1 2 3 Freudenthal, Bauer, 1974, с. 10.
- ↑ Freudenthal, 1973, с. 475.
- ↑ Świerczkowski, 1959a, с. 161.
- ↑ Świerczkowski, 1959a.
- ↑ Kuhlmann, Marshall, Osiak, 2011.
- ↑ Kuhlmann, Marshall, Osiak, 2011, с. 8.
- ↑ Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov, 2008, p. 44.
- ↑ Weinstein, 1996, pp. 80–81.
- ↑ Calegari, Dunfield, 2003, pp. 12–13.
- ↑ Bass, Otero-Espinar, Rockmore, Tresser, 1996, p. 19.
- ↑ Roll, 1993.
- ↑ Pecinová-Kozáková, 2005, с. 194.
- ↑ Świerczkowski, 1959a, pp. 161–162.
- ↑ Knuth, 1992, с. 4.
- ↑ Huntington, 1935.
- ↑ Evans, Macpherson, Ivanov, 1997.
- ↑ 1 2 Тарарин, 2001.
- ↑ Giraudet, Holland, 2002.
- ↑ Campero-Arena, Truss, 2009.
- ↑ Truss, 2009.
- ↑ Kulpeshov, Macpherson, 2005.
- ↑ Kulpeshov, 2006.
- ↑ Macpherson, 2011.
- ↑ 1 2 3 Huntington, 1916, с. 630.
- ↑ Kok, 1973, с. 6.
- ↑ Mosher, 1996, с. 109.
- ↑ Isli, Cohn, 1998, с. 643.
- ↑ 1 2 3 Novák, 1982, с. 462.
- ↑ Černák, 2001, с. 32.
- ↑ Bowditch, 1998, с. 155.
- ↑ 1 2 Giraudet, Holland, 2002, с. 1.
- ↑ Čech, 1936, с. 23.
- ↑ Megiddo, 1976, с. 274.
- ↑ Świerczkowski, 1959a, с. 162.
- ↑ Černák, Jakubík, 1987, с. 157.
- ↑ Campero-Arena, Truss, 2009, с. 1.
- ↑ Rieger, 1947.
- ↑ Pecinová, 2008, с. 82.
- ↑ Černy, 1978, с. 262.
- ↑ Weinstein, 1996, с. 81.
- ↑ Novák, 1984, с. 332.
- ↑ Bowditch, 2004, с. 33.
- ↑ Campero-Arena, Truss, 2009, с. 582.
- ↑ Giraudet, Holland, 2002, с. 3.
Литература
- Hyman Bass, Maria Victoria Otero-Espinar, Daniel Rockmore, Charles Tresser. Cyclic renormallzatlon and automorphism groups of rooted trees. — Springer, 1996. — Т. 1621. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-60595-9. — doi:10.1007/BFb0096321.
- Brian H. Bowditch. Cut points and canonical splittings of hyperbolic groups // Acta Mathematica. — 1998. — Сентябрь (т. 180, вып. 2). — С. 145—186. — doi:10.1007/BF02392898. Архивировано 22 марта 2012 года.
- Brian H. Bowditch. Planar groups and the Seifert conjecture // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 2004. — Ноябрь (т. 576). — С. 11—62. — doi:10.1515/crll.2004.084.
- Kenneth S. Brown. Finiteness properties of groups // Journal of Pure and Applied Algebra. — 1987. — Февраль (т. 44, вып. 1—3). — С. 45—75. — doi:10.1016/0022-4049(87)90015-6.
- Danny Calegari. Circular groups, planar groups, and the Euler class // Geometry & Topology Monographs. — 2004. — Декабрь (т. 7). — С. 431—491. — doi:10.2140/gtm.2004.7.431. — arXiv:math/0403311.
- Danny Calegari, Nathan M. Dunfield. Laminations and groups of homeomorphisms of the circle // Inventiones Mathematicae. — 2003. — Апрель (т. 152, вып. 1). — С. 149—204. — doi:10.1007/s00222-002-0271-6. — arXiv:math/0203192.
- G. Campero-Arena, John K. Truss. 1-transitive cyclic orderings // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 2009. — Апрель (т. 116, вып. 3). — С. 581—594. — doi:10.1016/j.jcta.2008.08.006.
- Eduard Čech. Bodové množiny. — Prague: Jednota Československých matematiků a fysiků, 1936.
- Štefan Černák. Cantor extension of a half linearly cyclically ordered group // Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications. — 2001. — Т. 21, вып. 1. — С. 31—46. — doi:10.7151/dmgaa.1025. (недоступная ссылка)
- Štefan Černák, Ján Jakubík. Completion of a cyclically ordered group // Czechoslovak Mathematical Journal. — 1987. — Т. 37, вып. 1. — С. 157—174. Архивировано 28 ноября 2024 года.
- Ilja Černy. Cuts in simple connected regions and the cyclic ordering of the system of all boundary elements // Časopis pro pěstování matematiky. — 1978. — Т. 103, вып. 3. — С. 259—281.
- Bruno Courcelle. 2.3 Circular order // Problems in Finite Model Theory / Dietmar Berwanger, Erich Grädel. — 2003.
- H. S. M. Coxeter. chapter 3: Order and continuity. // The Real Projective Plane. — New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
- David M. Evans, Dugald Macpherson, Alexandre A. Ivanov. Finite Covers // Model theory of groups and automorphism groups: Blaubeuren, August 1995 / David M. Evans. — Cambridge University Press, 1997. — Т. 244. — С. 1—72. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-58955-X.
- Hans Freudenthal. Mathematics as an educational task. — D. Reidel, 1973. — ISBN 90-277-0235-7.
- Hans Freudenthal, A. Bauer. Geometry—A Phenomenological Discussion // Fundamentals of mathematics / Heinrich Behnke, S. H. Gould. — MIT Press, 1974. — Т. 2. — С. 3—28. — ISBN 0-262-02069-6.
- Hans Freudenthal. Didactical phenomenology of mathematical structures. — D. Reidel, 1983. — ISBN 90-277-1535-1.
- Michèle Giraudet, W. Charles Holland. Ohkuma Structures // Order. — 2002. — Сентябрь (т. 19, вып. 3). — С. 223—237. — doi:10.1023/A:1021249901409. (недоступная ссылка)
- Edward V. Huntington. A Set of Independent Postulates for Cyclic Order (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences. — United States National Academy of Sciences, 1916. — November (vol. 2, iss. 11). — P. 630—631. — doi:10.1073/pnas.2.11.630.
- Edward V. Huntington. Sets of Completely Independent Postulates for Cyclic Order (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences. — United States National Academy of Sciences, 1924. — February (vol. 10, iss. 2). — P. 74—78. — doi:10.1073/pnas.10.2.74.
- Edward V. Huntington. Inter-Relations Among the Four Principal Types of Order (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1935. — July (vol. 38, iss. 1). — P. 1—9. — doi:10.1090/S0002-9947-1935-1501800-1.
- Amar Isli, Anthony G. Cohn. An algebra for cyclic ordering of 2D orientations // AAAI '98/IAAI '98 Proceedings of the fifteenth national/tenth conference on Artificial intelligence/Innovative applications of artificial intelligence. — 1998. — ISBN 0-262-51098-7.
- Donald E. Knuth. Axioms and Hulls. — Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. — Т. 606. — С. ix+109. — (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 3-540-55611-7. — doi:10.1007/3-540-55611-7.
- Kok H. Connected orderable spaces. — Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1973. — ISBN 90-6196-088-6.
- Salma Kuhlmann, Murray Marshall, Katarzyna Osiak. Cyclic 2-structures and spaces of orderings of power series fields in two variables // Journal of Algebra. — 2011. — Т. 335, вып. 1. — С. 36—48. — doi:10.1016/j.jalgebra.2011.02.026. Архивировано 21 июля 2011 года.
- Beibut Sh. Kulpeshov. On ℵ0-categorical weakly circularly minimal structures // Mathematical Logic Quarterly. — 2006. — Декабрь (т. 52, вып. 6). — С. 555—574. — doi:10.1002/malq.200610014.
- Кулпешов Б.Ш. Определимые функции в ℵ0-категоричных слабо циклически минимальных структурах // Сибирский математический журнал. — 2009. — Март-Апрель (т. 50, вып. 2). — С. 356—379.
- Beibut Sh. Kulpeshov, H. Dugald Macpherson. Minimality conditions on circularly ordered structures // Mathematical Logic Quarterly. — 2005. — Июль (т. 51, вып. 4). — С. 377—399. — doi:10.1002/malq.200410040.
- H. Dugald Macpherson. A survey of homogeneous structures // Discrete Mathematics. — 2011. — doi:10.1016/j.disc.2011.01.024.
- Curtis T. McMullen. Ribbon R-trees and holomorphic dynamics on the unit disk // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вып. 1. — С. 23—76. — doi:10.1112/jtopol/jtn032.
- Nimrod Megiddo. Partial and complete cyclic orders (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1976. — March (vol. 82, iss. 2). — P. 274—276. — doi:10.1090/S0002-9904-1976-14020-7.
- James Morton, Lior Pachter, Anne Shiu, Bernd Sturmfels. The Cyclohedron Test for Finding Periodic Genes in Time Course Expression Studies // Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology. — 2007. — Январь (т. 6, вып. 1). — doi:10.2202/1544-6115.1286. — arXiv:q-bio/0702049.
- Lee Mosher. A user's guide to the mapping class group: once-punctured surfaces // Geometric and computational perspectives on infinite groups / Gilbert Baumslag. — AMS Bookstore, 1996. — Т. 25. — С. 101—174. — (DIMACS). — ISBN 0-8218-0449-9.
- Cyclically ordered sets // Czechoslovak Mathematical Journal. — 1982. — Т. 32, вып. 3. — С. 460—473.
- Vítězslav Novák. Cuts in cyclically ordered sets // Czechoslovak Mathematical Journal. — 1984. — Т. 34, вып. 2. — С. 322—333.
- Vítězslav Novák, Miroslav Novotný. On completion of cyclically ordered sets // Czechoslovak Mathematical Journal. — 1987. — Т. 37, вып. 3. — С. 407—414. Архивировано 28 ноября 2024 года.
- Eliška Pecinová-Kozáková. Ladislav Svante Rieger and His Algebraic Work // WDS 2005 - Proceedings of Contributed Papers, Part I / Jana Safrankova. — Prague: Matfyzpress, 2005. — С. 190—197. — ISBN 80-86732-59-2.
- Eliška Pecinová. Ladislav Svante Rieger (1916–1963). — Prague: Matfyzpress, 2008. — Т. 36. — (Dějiny matematiky). — ISBN 978-80-7378-047-0. Язык: Чешский
- L. S. Rieger. О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (On ordered and cyclically ordered groups II) // Věstník Královské české spolecnosti nauk, Třída mathematicko-přírodovědná (Journal of the Royal Czech Society of Sciences, Mathematics and natural history). — 1947. — Вып. 1. — С. 1—33. Язык: Чешский
- J. Blair Roll. Locally partially ordered groups // Czechoslovak Mathematical Journal. — 1993. — Т. 43, вып. 3. — С. 467—481.
- Jim Stasheff. From operads to 'physically' inspired theories // Operads: Proceedings of Reneassance Conferences / Jean-Louis Loday, James D. Stasheff, Alexander A. Voronov. — AMS Bookstore, 1997. — Т. 202. — С. 53—82. — (Contemporary Mathematics). — ISBN 978-0-8218-0513-8.
- Świerczkowski S. On cyclically ordered groups // Fundamenta Mathematicae. — 1959a. — Т. 47. — С. 161—166.
- О группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств // Сибирский математический журнал. — 2001. — Т. 42, вып. 1. — С. 212—230.
- Валерий Михайлович Тарарин. О c-3-транзитивных группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств // Математические заметки. — 2002. — Т. 71, вып. 1. — С. 122—129. — doi:10.4213/mzm333.
- John K. Truss. On the automorphism group of the countable dense circular order // Fundamenta Mathematicae. — 2009. — Т. 204, вып. 2. — С. 97—111. — doi:10.4064/fm204-2-1.
- Oleg Viro, Oleg Ivanov, Nikita Netsvetaev, Viatcheslav Kharlamov. 8. Cyclic Orders // Elementary topology: problem textbook. — AMS Bookstore, 2008. — С. 42—44. — ISBN 978-0-8218-4506-6.
- Tilla Weinstein. An introduction to Lorentz surfaces. — Walter de Gruyter, 1996. — Т. 22. — (De Gruyter Expositions in Mathematics). — ISBN 978-3-11-014333-1.
Дополнительная литература
- Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller, Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. — Springer, 1998. — Т. 1698. — С. 108—109. — (Lecture Notes in Mathematics). — doi:10.1007/BFb0092550.
- Manuel Bodirsky, Michael Pinsker. Reducts of Ramsey Structures // Model Theoretic Methods in Finite Combinatorics. — AMS, 2011. — (Contemporary Mathematics).
- Peter J. Cameron. Transitivity of permutation groups on unordered sets // Mathematische Zeitschrift. — 1976. — Июнь (т. 148, вып. 2). — С. 127—139. — doi:10.1007/BF01214702.
- Peter J. Cameron. Cohomological aspects of two-graphs. — Mathematische Zeitschrift. — 1977. — Т. 157. — С. 101—119. — doi:10.1007/BF01215145.
- Peter J. Cameron. The algebra of an age // Model theory of groups and automorphism groups: Blaubeuren, August 1995 / David M. Evans. — Cambridge University Press, 1997. — Т. 244. — С. 126—133. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-58955-X.
- Bruno Courcelle, Joost Engelfriet. Graph Structure and Monadic Second-Order Logic, a Language Theoretic Approach. — Cambridge University Press, 2011.
- Droste M., Giraudet M., Macpherson D. Periodic Ordered Permutation Groups and Cyclic Orderings // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1995. — Март (т. 63, вып. 2). — С. 310—321. — doi:10.1006/jctb.1995.1022.
- Droste M., Giraudet M., Macpherson D. Set-Homogeneous Graphs and Embeddings of Total Orders // Order. — 1997. — Март (т. 14, вып. 1). — С. 9—20. — doi:10.1023/A:1005880810385.
- David M. Evans. Finite covers with finite kernels // Annals of Pure and Applied Logic. — 1997. — Ноябрь (т. 88, вып. 2—3). — С. 109—147. — doi:10.1016/S0168-0072(97)00018-3.
- Ivanov A. A. Finite Covers, Cohomology and Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1999. — Январь (т. 78, вып. 1). — С. 1—28. — doi:10.1112/S002461159900163X.
- Ján Jakubík. On monotone permutations of ℓ-cyclically ordered sets // Czechoslovak Mathematical Journal. — 2006. — Т. 45, вып. 2. — С. 403—415.
- Christine Cowan Kennedy. On a cyclic ternary relation ... (M.A. Thesis). — Tulane University, 1955.
- Eszter Herendine Kónya. A mathematical and didactical analysis of the concept of orientation // Teaching Mathematics and Computer Science. — 2006. — Т. 4, вып. 1. — С. 111—130. Архивировано 28 ноября 2024 года.
- Eszter Herendine Kónya. Geometrical transformations and the concept of cyclic ordering // Supporting Independent Thinking Through Mathematical Education / Bożena Maj, Marta Pytlak, Ewa Swoboda. — Rzeszów University Press, 2008. — С. 102—108. — ISBN 978-83-7338-420-0.
- Gérard Leloup. Existentially equivalent cyclic ultrametric spaces and cyclically valued groups // Logic Journal of the IGPL. — 2011. — Февраль (т. 19, вып. 1). — С. 144—173. — doi:10.1093/jigpal/jzq024.
- Gabriele Marongiu. Some remarks on the ℵ0-categoricity of circular orderings // Unione Matematica Italiana. Bollettino. B. Serie VI. — 1985. — Т. 4, вып. 3. — С. 883—900. Язык: Итальянский
- Stephen McCleary, Matatyahu Rubin. Locally Moving Groups and the Reconstruction Problem for Chains and Circles. — 2005. — Октябрь. — arXiv:math/0510122.
- Müller G. Lineare und zyklische Ordnung // Praxis der Mathematik. — 1974. — Т. 16. — С. 261—269.
- Rubin M. Locally moving groups and reconstruction problems // Ordered groups and infinite permutation groups / W. Charles Holland. — Kluwer, 1996. — Т. 354. — С. 121—157. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-0-7923-3853-6.
- On cyclic ordering relations // Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Classe III. — 1956. — Т. 4. — С. 585—586.
- Świerczkowski S. On cyclically ordered intervals of integers // Fundamenta Mathematicae. — 1959b. — Т. 47. — С. 167—172.
- Truss J.K. Generic Automorphisms of Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1992. — Июль (т. s3—65, вып. 1). — С. 121—141. — doi:10.1112/plms/s3-65.1.121.
Ссылки
- cyclic order на сайте nLab[англ.]